Bài Tập Ánh Xạ Có Lời Giải

     

Nội dung bài xích giảng Bài 2: Ánh xạ sau đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu về định nghĩa, nghịch ảnh, toàn ánh, đối chọi ánh, tuy vậy ánh, ảnh xạ ngược, hình ảnh xạ hợp. Mời chúng ta cùng tham khảo!


1. Định nghĩa

2. Nghịch ảnh: (ảnh ngược, chi phí ảnh)

3. Toàn ánh

4. Đơn ánh

5. Song ánh

6. Ảnh xạ ngược

7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)

8. Định nghĩa


Cho nhị tập đúng theo (X,Y e emptyset), một phép links f khớp ứng mỗi thành phần x (in) X với duy nhất phần tử y (in) Y được gọi là một trong những ánh xạ tự X vào Y.

Bạn đang xem: Bài tập ánh xạ có lời giải

Ký hiệu: f : X →Y

(x, mapsto y = f(x))

Khi đó X hotline là tập vừa lòng nguồn (miền xác định) với Y điện thoại tư vấn là tập vừa lòng đích (miền ảnh).

Nhận xét : f : X → Y là 1 trong những ánh xạ ví như mọi phần tử của X phần đông có hình ảnh duy duy nhất ((in) Y)

Ánh xạ f : X → R với(X subset R) được gọi là 1 trong hàm số thực với thay đổi số thực số thực.


Cho ánh xạ f : X→ Y

(A subset X), ảnh của tập A là(f(A) = left x in A ight. ight\)

Ảnh ngược của(B subset Y) là(f^ - 1(B) = left x in Xleft ight\)

Đặc biệt khi(B = left y ight subset Y) ta viết(f^ - 1( y ) = f^ - 1(y) = left f(x) = y ight. ight\)

(x in f^ - 1(y))được call là ảnh ngược của y

Ví dụ: cho f : R→ R, f(x) = x2 cùng B = -5, 2, 4, 9, 0

Thì

(eginarrayl f^ - 1left( B ight) = m left pm sqrt 2 , pm 2, pm 3,0 ight\ f^ - 1left( 169 ight) = left pm 13 ight;f^ - 1left( - 3 ight) = m emptyset \ f^ - 1left( 2 ight) = left pm sqrt 2 ight;f^ - 1left( - 5 ight) = emptyset endarray)


3. Toàn ánh:


Cho ánh xạ f : X→ Y, ta nói f là toàn ánh khi và chỉ khi f(X) = Y.

Ta có:

(f(X) = Y Leftrightarrow forall y in Y,exists in X:f(x) = y)

(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình y = f(x) có tối thiểu một nghiệm.

( Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y) e emptyset)

Ví dụ:

i) f : R → R, f(x) =x2 không là toàn ánh vì(f^ - 1( - 2) = emptyset) (phương trình x2 = 2 : vô nghiệm)

ii) f : R → R+, f(x) = x2 là toàn ánh bởi (forall y in R^ + ), phương trình f(x) = y ⇔ Z2 = y luôn có nghiệm(x = pm sqrt y)

Nhận xét: giả sử f : X → Y là toàn ánh với X, Y là tập phù hợp hữu hạn thì card X > thẻ Y.


4. Đơn ánh


Cho ánh xạ f: X → Y.

Xem thêm: Luyện Thi Thpt Quốc Gia 2017, Tài Liệu Ôn Thi Thpt Quốc Gia 2017

f là đối chọi ánh(forall x_1,x_2 in X,va,x_1 e x_2 Rightarrow f(x_1) e f(x_2))

Ta có: f là đối kháng ánh

“( Leftrightarrow forall x_1,x_2 in X) cùng f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2”

(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình y = f(x) có rất nhiều nhất là một trong những nghiệm”

(Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y) = emptyset)hay(f^ - 1(y)) bao gồm đúng một trong những phần tử”

Ví dụ:

f : R → R , f(x) = x2 ko là đơn ánh do f(-2) = f(2) = 4

f : R+ →R hay R- → R, f(x) = x2 là đơn ánh

f : R →R,(f(x) = frac3x - 57) là solo ánh vì

(eginarrayl forall x_1x_2 in R,,va,,f(x_1) = f(x_2)\ Leftrightarrow frac3x_1 - 57 = frac3x_2 - 57 Leftrightarrow x_1 = x_2 endarray)


5. Tuy vậy ánh:


Cho ánh xạ f: X→ Y.

f là song ánh ⇔f là 1-1 ánh cùng f là toàn ánh.

Ta có: f là song ánh

(Leftrightarrow forall y in Y), phương trình f(x) = y bao gồm duy duy nhất nghiệm


(Leftrightarrow forall y in Y,f^ - 1(y))có duy nhất 1 phần tử.

Ví dụ:

(f:R o R;,f(x) = frac3x - 57)là tuy nhiên ánh vì(forall y in R), phương trình(y = frac3x - 57)có nghiệm duy nhất(x = frac7x + 53)


6. Ảnh xạ ngược:


Nếu f : X → Y là song ánh(x mapsto f(x))thì ánh xạ sau được hotline là ánh xạ ngược của f :

(eginarrayl f^ - 1:Y o X\ y = f(x) mapsto x = f^ - 1(y) endarray)

Ví dụ:

(eginarrayl f:R^ + o R^ + ,f(x) = x^2\ (y = x^2 Leftrightarrow x = sqrt y ,x,y ge 0)\ f^ - 1(y) = sqrt y (x,y ge 0),,hay,f^ - 1(x) = sqrt x , endarray )

Ví dụ:

(eginarrayl f:R^ - o R^ + ,f(x) = x^2\ f^ - 1(y) = - sqrt y ,,hay,f^ - 1(x) = - sqrt x , endarray)

Ví dụ:

(eginarrayl f:R o R^ + ackslash 0 ;f(x) = 3^x\ f^ - 1:R^ + ackslash 0 o R,,hay,f^ - 1(x) = log _3x endarray )


7. Ảnh xạ hợp: (Ánh xạ tích)


Cho nhị ánh xạ f : X → Y cùng g: Y → Z.

Ánh xạ h : X → Z được tư tưởng h(x) = g,(forall x in X)

Ký hiệu: h = gof được call là ánh xạ hòa hợp (ánh xạ tích) của f với g.

Xem thêm: Công Thức Tính Lực Đàn Hồi Của Lò Xo, Lực Đàn Hồi Và Lực Hồi Phục

Ví dụ:

(eginarrayl f:R o <5; + infty ),f(x) = x^2 + 5\ g:,<5; + infty ) o R^ - ,,g(x) = - sqrt x + 2 endarray)

Thì(g_of(x) = g(x^2 + 5) = - sqrt (x^2 + 5) + 2 = - sqrt x^2 + 7)

Ví dụ:(f,g:R o R;f(x) = 3x^2 - x;,,g(x) = frac2x + 54)

Thì

(g_of(x) = g(3x^2 - x) = frac2(3x^2 - x) + 54 = frac6x^2 - 2x + 54)

(f_og(x) = fleft( frac2x + 54 ight) = 3left( frac2x + 54 ight)^2 - frac2x + 54 = frac12x^2 + 52x + 5516)

Nhận xét:

Thông thường,(g_of e f_og)(left( g_of ight)^ - 1 = f^ - 1_og^ - 1)(giả sử f, g là song ánh)(f^ - 1_of^ - 1(y) = y,forall y in Y)(f:X → Y là tuy vậy ánh)(f^ - 1_of^ - 1(x) = x,forall x in X)(f:X → Y là tuy vậy ánh)Giả sử(f_o(g_oh)) tồn tại, ta có:((f_og)_oh = f_o(g_oh))

8. Định nghĩa


Một tập A được nói là hữu hạn và bao gồm n phần tử nếu mãi mãi một song ánh giữa A với tập con 1, 2, 3,..., n của N . Khi đó, ta viết: CardA = n giỏi |A| = n.Nếu tập A không hữu hạn, ta nói A vô hạn.Hai tập A và B được nói là đồng lực lượng ví như tồn tại một tuy nhiên ánh tự A vào B.Một tập A được nói là đếm được ví như tồn tại một song ánh thân A cùng tập nhỏ N của N . Khi đó, ví như N = N thì ta nói A là tập vô hạn đếm được. Nói bí quyết khác, ta nói A là tập vô hạn đếm được trường hợp tồn trên một song ánh thân A và tập N .