BÀI TẬP XÁC SUẤT CÔNG THỨC BAYES CÓ LỜI GIẢI

  -  
Xác suất có điều kiện – cách làm Bayes

Công thức tính Xác suất tất cả điều kiện cùng định lý Bayes (Bayes’ Theorem) là các công cụ khỏe mạnh để tính xác suất xảy ra của một sự khiếu nại (biến nạm – event) tự nhiên A lúc biết sự kiện tương quan B vẫn xảy ra.

Bạn đang xem: Bài tập xác suất công thức bayes có lời giải

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

1. Xác suất có điều kiện

1.1. Lấy một ví dụ về tỷ lệ có điều kiện

Xác suất gồm điều kiện (Conditional probability) là xác suất của một biến đổi cố $ A$ làm sao đó khi biết rằng một biến đổi cố $ B$ khác xảy ra. Ký hiệu $ mathrmP(A|B)$, với đọc là “xác suất của $ A$, biết $ B$”.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Chẳng hạn, rút một lá bài xuất phát từ 1 bộ bài bác có $52$ lá, xác suất để mang được một lá Át là $ 1/52$. Tuy thế nếu tín đồ chơi sẽ rút được lá Át rồi, nếu liên tục rút thêm 1 lá bài bác nữa thì thì để nhận thấy một lá Át nữa, xác suất chỉ từ là $ 1/51.$

Để làm rõ hơn, chúng ta xét tiếp các ví dụ nữa.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ví dụ 1. Một bình đựng 5 viên bi size và làm từ chất liệu giống nhau, chỉ khác nhau về màu sắc sắc. Trong các số đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy hốt nhiên từ bình ra một viên bi ta được viên bi màu sắc xanh, rồi lại lấy bỗng dưng ra một viên bi nữa. Tính xác suất để đưa được viên bi đỏ ở lần thiết bị hai.

Hướng dẫn.Gọi $ A$ là trở thành cố: “Lấy được một viên bi đỏ sinh hoạt lần sản phẩm công nghệ hai”. Vị một viên bi xanh vẫn được lôi ra ở lần trước tiên nên còn sót lại trong bình 4 viên bi trong số đó số viên bi đỏ là 2 với số viên bi xanh cũng là 2. Bởi vì đó, xác suất cần tìm là $$ mathrmP(A)=frac24=0,5. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ví dụ 2. Gieo một con xúc xắc phẳng phiu và đồng hóa học hai lần. Tính phần trăm để lần đầu gieo được phương diện 1 chấm biết rằng tổng số chấm trong nhì lần gieo không vượt thừa 3.


*

Hướng dẫn. không gian mẫu là $$ Omega=ig\left(i, j ight): 1leqslant i, jleqslant 6ig, $$ trong những số ấy cặp số $ left(i, j ight)$ thể hiện bài toán lần gieo đầu lộ diện mặt $ i$ chấm, lần sau mở ra mặt $ j$ chấm. Không khí mẫu có toàn bộ $6 imes 6=36$ phần tử.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Gọi $ A$ là biến cố: “Lần đầu gieo xuất hiện thêm mặt 1 chấm”, $ B$ là biến đổi cố: “Tổng số chấm trong nhị lần gieo ko vượt quá 3”. Chúng ta dễ dàng liệt kê được các thành phần thuận lợi cho từng đổi mới cố làeginalignA=&ig\left(1, 1 ight), left(1, 2 ight), left(1, 3 ight), left(1, 4 ight), left(1, 5 ight), left(1, 6 ight)ig,\B=&ig\left(1, 1 ight), left(1, 2 ight), left(2, 1 ight)ig,\AB=&ig\left(1, 1 ight), left(1, 2 ight)ig.endalign

Dễ dàng đếm được số bộ phận của $A,B,AB$ theo lần lượt là $6$, $3$, $2$. Vị đó, theo định nghĩa cổ xưa của phần trăm thì ta có

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

$$ mathrmP(A)=frac636, quad mathrmP(B)=frac336,quad mathrmP(AB)=frac236 .$$

Nếu biết rằng $ B$ đã xẩy ra thì $ A$ xẩy ra khi một trong hai công dụng $ left(1, 1 ight)$ và $ left(1, 2 ight)$ xảy ra. Bởi đó, phần trăm của $ A$ với điều kiện $ B$ là $$ mathrmP(A | B)=frac23. $$ dấn xét rằng $$ frac23=frac2/363/36=fracmathrmP(AB)mathrmP(B) $$ hay đó là $$ mathrmP(A | B)=fracmathrmP(AB)mathrmP(B). $$ từ bỏ đó, bọn họ có bí quyết tính phần trăm có đk như sau đây.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

1.2. Công thức tính phần trăm có điều kiện

Giả sử số các kết quả đồng khả năng rất có thể xảy ra khi triển khai phép thử đó là $ N$, số kết quả thuận lợi cho vươn lên là cố $ B$ là $ m$ với số công dụng thuận lợi cho biến đổi cố $ AB$ là $n $.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Theo định nghĩa truyền thống của xác suất thì $$ mathrmP(B)=fracmN, mathrmP(AB)=fracnN. $$

Khi đổi thay cố $ B$ đã xảy ra thì số các công dụng đồng kỹ năng của phép thử rất có thể xảy ra so với biến cố kỉnh $ A$ là $ m$, trong số đó có $ n$ tác dụng thuận lợi mang lại $ A$ xảy ra. Vì chưng đó, phần trăm của đổi mới cố $ A$ lúc biết $ B$ đã xảy ra là$$ mathrmP(A | B)=fracnm=fracn/Nm/N=fracmathrmP(AB)mathrmP(B). $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Từ đó, bọn họ có phương pháp tính xác suất có đk như sau:

Xác suất có đk của biến cố $ A$ với điều kiện $ B$ là một số được ký kết hiệu là $ mathrmP(A | B)$ xác minh bởi phương pháp $$ mathrmP(A | B)=fracmathrmP(AB)mathrmP(B), mathrmP(B)>0. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Từ có mang trên ta dễ ợt nhận được các đặc điểm sau của xác suất có điều kiện:

$ mathrmP(A | B)geqslant 0.$$ mathrmPleft(Omega | B ight)=mathrmPleft(B | B ight)=1.$Nếu $ A_1, A_2,ldots, A_n$ là những biến cố gắng xung xung khắc từng đôi một, tức thị $ A_iA_j=varnothing$ với đa số $ i eq j$, ta tất cả $$ mathrmP left( left(igcuplimits_i=1^nA_i ight) Bigg| B ight)=sumlimits_i=1^nmathrmPleft(A_i | B ight). $$

Ví dụ 3. Gieo đồng thời cha con xúc xắc bằng vận đồng chất. Tính tỷ lệ để tổng số chấm lộ diện trên ba con bằng 8 biết rằng tối thiểu có một con mở ra mặt 5 chấm.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hướng dẫn. Không gian mẫu có các phần tử $$ Omega=ig\left(i, j, k ight): 1leqslant i, j, kleqslant 6ig, $$ trong những số ấy bộ số $ left(i, j, k ight)$ kí hiệu cho vấn đề “con xúc xắc đầu tiên xuất hiện mặt $ i$ chấm, con xúc xắc thiết bị hai xuất hiện mặt $ j$ chấm và con xúc xắc trang bị ba lộ diện mặt $ k$ chấm”.

Gọi $ A$ là vươn lên là cố: “Tổng số chấm mở ra trên bố con xúc xắc bởi 8”, $ B$ là đổi thay cố: “Ít duy nhất một bé xúc xắc ra 5 chấm”. Ta có $$ mathrmP(A | B)=fracmathrmP(AB)mathrmP(B). $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Vì $ B$ là thay đổi cố: “Ít nhất một bé xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm” phải $ overlineB$ là biến chuyển cố: “Không tất cả con xúc xắc nào xuất hiện thêm mặt 5 chấm”, vì thế $$ overlineB=ig\left(i, j, k ight): 1leqslant i, j, kleqslant 6, i, j, k eq 5ig. $$

Suy ra $$ mathrmP(overlineB)=fracOmega=frac5^36^3. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Do đó$$ mathrmP(B)=1-mathrmP(overlineB)=1-frac5^36^3=frac91216. $$

Ta thấy $ AB$ là trở nên cố: “Tổng số chấm xuất hiện trên cha con xúc xắc bởi 8 và ít nhất một bé xúc xắc ra 5 chấm”, do đó $$ AB=ig\left(1, 2, 5 ight), left(1, 5, 2 ight), left(2, 1, 5 ight), left(2, 5, 1 ight), left(5, 1, 2 ight),left(5, 2, 1 ight)ig. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Suy ra $$ mathrmP(AB)=frac=frac156^3=frac15216. $$

Vậy tỷ lệ cần kiếm tìm là $$ mathrmP(A | B)=fracmathrmP(AB)mathrmP(B)=frac15/21691/216=frac1591. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ví dụ 4. Một gia đình có 2 đứa trẻ. Hiểu được có ít nhất 1 đứa trẻ con là nhỏ gái. Hỏi tỷ lệ 2 đứa trẻ đầy đủ là phụ nữ là bao nhiêu?

Hướng dẫn. bọn họ có những nhận xét sau:

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1 xác suất để một đứa trẻ con là trai hoặc gái là cân nhau và bởi $ 1/2$.Giới tính cả 2 đứa trẻ con là tự dưng và không liên quan đến nhau.

Lời giải. Do mái ấm gia đình có 2 đứa trẻ buộc phải sẽ rất có thể xảy ra 4 khả năng:

(trai, trai), (gái, gái), (gái, trai), (trai, gái).

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Gọi $ A$ là đổi thay cố “Cả hai đứa trẻ đa số là nhỏ gái” cùng $ B$ là trở thành cố “Có tối thiểu một đứa trẻ con là con gái” thì có $$ mathrmP(A)=frac14,quad mathrmP(B)=frac34. $$Do nếu xảy ra $ A$ thì dĩ nhiên sẽ xẩy ra $ B$ yêu cầu ta có: $$ mathrmP(AB) = mathrmP(A) =frac14. $$Suy ra, phần trăm để cả nhì đứa trẻ những là con gái khi biết tối thiểu có một đứa trẻ con là gái là$$mathrmP(A | B) = dfracmathrmPleft(A,B ight)mathrmP(B) = dfrac1/43/4 = frac13.$$Bằng trực quan liêu ta cũng rất có thể nhìn ra xác suất này. Khi biết một đứa trẻ con là gái, giới tính của 2 đứa trẻ sẽ có được 3 khả năng: (trai, gái), (gái, trai), (gái, gái).

Ví dụ 5. Một hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ. Lần lượt bốc từng bi. Giả sử lần thứ nhất bốc được bi trắng. Khẳng định xác suấtlần thứ 2 bốc được bi đỏ.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hướng dẫn. gọi $ B$ là phát triển thành cố lần 1 bốc được bi trắng, $ A$ là đổi thay cố lần 2 bốc được bi đỏ. Xác suất lần 2 bốc được bi đỏ khi lần 1 sẽ bốc được bi trắng là $$ mathrmP(A | B)=fracmathrmP(AB)mathrmP(B)=frac8/10 imes 2/98/10=frac29. $$

2. Bí quyết nhân xác suất

2.1. Công thức nhân xác suất

Từ phương pháp tính tỷ lệ có đk $$ mathrmP(A | B)=fracmathrmP(AB)mathrmP(B), quad mathrmP(B|A)=fracmathrmP(AB)mathrmP(A),$$ ta suy ra công thức nhân phần trăm $$ mathrmP(AB)=mathrmP(B)mathrmP(A | B)=mathrmP(A)mathrmPleft(B | A ight), $$ với $ mathrmP(A)>0, mathrmP(B)>0$.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Công thức nhân phần trăm sử dụng trong một số trường hợp, khi mà chúng ta có thể biết ngay xác suất $ mathrmPleft(B | A ight)$ hoặc $ mathrmP(A | B)$ thì sẽ tính được tỷ lệ $ mathrmP(AB)$.

Ví dụ 1. Trong hộp có 20 nắp chai bia Tiger, trong các số ấy có 2 nắp ghi “Chúc mừng các bạn đã trúng thưởng”. Bạn được lựa chọn lên rút thăm lần lượt hai nắp chai bia, tính phần trăm để cả hai nắp các trúng thưởng.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hướng dẫn. Gọi $ A$ là đổi thay cố “nắp chai bia trước tiên trúng thưởng”, $ B$ là phát triển thành cố “nắp chai bia lắp thêm hai trúng thưởng”, $ C$ là biến cố “cả 2 nắp đông đảo trúng thưởng”.

Khi chúng ta rút thăm thứ nhất thì trong hộp có đôi mươi nắp trong số ấy có 2 nắp trúng đề nghị $$ mathrmP(A)=frac220. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Khi vươn lên là cố $ A$ đã xảy ra thì sót lại 19 nắp vào đó có một nắp trúng thưởng. Vì thế $$ mathrmPleft(B/A ight) = frac119. $$Suy ra, tỷ lệ để cả nhị nắp hầu như trúng thưởng là $$ mathrmPleft(C ight) = mathrmP(A). mathrmPleft(B/A ight) = frac2/201/19 = frac1190 approx 0,0053. $$

Ví dụ 2. Một bình đựng 5 viên bi kích thước, chất liệu như nhau, trong số đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi trắng. Lấy tự dưng ra một viên bi, rồi lại lấy ngẫu nhiên ra một viên bi nữa. Tính xác suất để mang được một viên bi xanh sinh hoạt lần đầu tiên và một viên bi trắng ngơi nghỉ lần sản phẩm công nghệ hai.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hướng dẫn. điện thoại tư vấn $ A$ là vươn lên là cố: “Lấy được một viên bi xanh sinh hoạt lần lắp thêm nhất”, $ B$ là đổi mới cố: “Lấy được một viên bi trắng nghỉ ngơi lần đồ vật hai”. Bọn họ cần tính tỷ lệ $ mathrmP(AB)$.

Theo phương pháp nhân phần trăm $$ mathrmP(AB)=mathrmP(A)mathrmPleft(B | A ight). $$Vì gồm 3 viên bi xanh trong toàn bô 5 viên bi buộc phải $$ mathrmP(A)=frac35=0,6. $$Nếu $ A$ đã xảy ra, tức là một viên bi xanh sẽ được lấy ra ở lần máy nhất, thì sót lại trong bình 4 viên bi trong các số đó số viên bi trắng là 2, cho nên vì thế $$ mathrmPleft(B | A ight)=frac24=0,5. $$Vậy xác suất cần tìm là $$ mathrmP(AB)=mathrmP(A)mathrmPleft(B | A ight)=0,6 imes 0,5=0,3. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

2.2. Công thức nhân xác suất tổng quát

Bằng phương thức quy nạp, ta có công thức nhân phần trăm tổng quát tháo sau:

Giả sử $ ngeqslant 2$ cùng $ A_1, A_2,ldots, A_n$ là các biến cố thế nào cho $ mathrmPleft(A_1A_2ldots A_n-1 ight)>0$. Lúc đó ta gồm $$ mathrmPleft(A_1A_2ldots A_n ight)=mathrmPleft(A_1 ight)mathrmPleft(A_2 | A_1 ight)mathrmPleft(A_3 | A_1A_2 ight)ldotsmathrmPleft(A_n | A_1A_2ldots A_n-1 ight). $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ví dụ 3. Một thủ kho gồm một chùm chìa khóa có 9 chiếc hiệ tượng giống như nhau trong đó chỉ bao gồm hai cái mở được cửa kho. Anh ta thử tự nhiên từng chìa (chìa nào sai thì bỏ thoát ra khỏi chùm chìa khóa). Tìm phần trăm để lần test thứ tía thì anh ta mới mở được cửa.

Hướng dẫn. điện thoại tư vấn $ A_1$ là thay đổi cố: “Không mở được cửa ở lần thử máy 1”, $ A_2$ là biến hóa cố: “Không mở được cửa ở lần thử đồ vật 2” cùng $ A_3$ là vươn lên là cố: “Mở được cửa ở lần thử lắp thêm 3”. Ta đề nghị tìm $ mathrmPleft(A_1A_2A_3 ight)$. Theo công thức nhân phần trăm ta gồm $$ mathrmPleft(A_1A_2A_3 ight)=mathrmPleft(A_1 ight)mathrmPleft(A_2|A_1 ight)mathrmPleft(A_3|A_1A_2 ight). $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ta có$$ mathrmPleft(A_1 ight)=frac79, mathrmPleft(A_2|A_1 ight)=frac68, mathrmPleft(A_3|A_1A_2 ight)=frac27. $$

Do kia $$ mathrmPleft(A_1A_2A_3 ight)=frac79 imesfrac68 imesfrac27=frac16. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ví dụ 4. Một tín đồ săn thỏ vào rừng, kỹ năng anh ta phun trúng thỏ trong mỗi lần bắn tỷ lệ nghịch với khoảng cách bắn. Anh ta bắn lần đầu ở khoảng cách 20 m với xác suất trúng thỏ là 0,5, trường hợp bị trượt anh ta phun viên thứ hai ở khoảng cách 30 m, giả dụ lại trượt anh ta bắn viên trang bị 3 ở khoảng cách 50 m. Tính xác suất để tín đồ thợ săn phun được thỏ.

Hướng dẫn. điện thoại tư vấn $ A_k$ là trở thành cố “Người thợ săn phun trúng thỏ ngơi nghỉ lần thứ $ k$” với $ k=1,2,3.$ Theo đề bài, bọn họ cóeginalignmathrmPleft(A_1 ight)&=0,5,\mathrmPleft(A_2|overlineA_1 ight)&=frac20 imes 0,530=frac13,\mathrmPleft(A_3|overlineA_1.overlineA_2 ight)&=frac20 imes 0,550=frac15.endalignGọi $ A$ là đổi mới cố “Người thợ săn phun trúng thỏ” thì $$ A=A_1cup overlineA_1A_2cup overlineA_1.overlineA_2.A_3. $$Vì những biến cố $ A_1, overlineA_1A_2, overlineA_1.overlineA_2.A_3$ xung khắc từng song một, nên ta có$$ mathrmP(A)=mathrmPleft(A_1 ight)+mathrmPleft(overlineA_1A_2 ight)+mathrmPleft(overlineA_1.overlineA_2.A_3 ight) $$Theo bí quyết nhân xác suất thì$$ mathrmPleft(overlineA_1A_2 ight) = mathrmPleft(overlineA_1 ight)mathrmPleft(A_2|overlineA_1 ight)=left(1-0,5 ight) imes mathrmPleft(A_2|overlineA_1 ight)=frac16. $$$$ mathrmPleft(overlineA_1.overlineA_2.A_3 ight)= mathrmPleft(overlineA_1 ight) mathrmPleft(overlineA_2|overlineA_1 ight)mathrmPleft(A_3|overlineA_1.overlineA_2 ight)=left(1-0,5 ight)left(1-frac13 ight) imes frac15 =frac115.$$Do đó, xác suất cần tìm kiếm là $$ mathrmP(A)=0,5+frac16+frac115=frac1115. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

3. Công thức tỷ lệ đầy đủ

3.1. Hệ đầy đủ các biến chuyển cố

Hệ các biến núm $ igB_1, B_2,ldots, B_nig$ được call là tương đối đầy đủ nếu thỏa mãn nhu cầu đồng thời nhị điều kiện:

$ B_1, B_2,ldots, B_n$ là những biến cầm cố xung xung khắc từng đôi một, nghĩa là $ B_iB_j=varnothing$ với mọi $ i eq j$,$ Omega=B_1cup B_2cupcdotscup B_n$.

Xem thêm: Top 20 Hoa Xương Rồng Tập 13 Mới Nhất 2022, Hoa Xuong Rong Tap Cuoi

Nhận xét rằng, hệ $ igB, overlineBig$ là một hệ đầy đủ, trong số ấy $ B$ là 1 trong những biến nuốm bất kỳ.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

3.2. Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử $ igB_1, B_2,ldots, B_nig$ là hệ không thiếu các biến cố với $ mathrmPleft(B_i ight)>0,,forall i=1,2,ldots,n$. Lúc đó với bất kỳ biến cố gắng $ A$, ta có$$ mathrmP(A)=mathrmPleft(B_1 ight)mathrmPleft(A | B_1 ight)+mathrmPleft(B_2 ight)mathrmPleft(A | B_2 ight)+cdots+mathrmPleft(B_n ight)mathrmPleft(A | B_n ight). $$

Ví dụ 1. Có 3 hộp giống nhau. Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong số ấy có 6 chính phẩm, hộp lắp thêm hai đựng 15 sản phẩm, trong các số đó có 10 thiết yếu phẩm, vỏ hộp thứ bố đựng trăng tròn sản phẩm, trong các số ấy có 15 chính phẩm. Lấy tự dưng một hộp cùng từ đó lấy bỗng nhiên một sản phẩm. Kiếm tìm xác suất để đưa được chính phẩm.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hướng dẫn. ký kết hiệu $ B_k$ là biến đổi cố: “Sản phẩm kéo ra thuộc hộp lắp thêm $ k$”, $ k=1, 2, 3$ và $ A$ là trở thành cố: “Lấy được chính phẩm”. Bọn họ có ngay $ igB_1, B_2, B_3ig $là hệ đầy đủ các phát triển thành cố và

$ mathrmPleft(B_1 ight)=frac13, mathrmPleft(B_2 ight)=frac13, mathrmPleft(B_3 ight)=frac13,$$ mathrmPleft(A | B_1 ight)=frac610, mathrmPleft(A | B_2 ight)=frac1015, mathrmPleft(A | B_3 ight)=frac1520.$

Theo công thức tỷ lệ đầy đủ$$ mathrmP(A)=mathrmPleft(B_1 ight)mathrmPleft(A | B_1 ight)+mathrmPleft(B_2 ight)mathrmPleft(A | B_2 ight)+mathrmPleft(B_3 ight)mathrmPleft(A | B_3 ight) $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Thay các giá trị tính được sống trên vào cách làm này ta chiếm được $$ mathrmP(A)=frac13 imes frac610+frac13 imes frac1015+frac13 imes frac1520=frac3145 $$Vậy xác suất để đưa được chủ yếu phẩm là $ 31/45$.

Ví dụ 2. Từ một hộp đựng $ m$ quả ước trắng với $ n$ quả cầu đen, người ta rút bất chợt không hoàn trả từng trái một hai lần. Tính phần trăm để quả lấy lần vật dụng hai là trắng.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hướng dẫn. ký hiệu $ A$ là biến hóa cố: “Lần đồ vật hai rút được quả ước trắng”, $ B_1$ là biến đổi cố: “Lần thứ nhất rút được quả mong trắng”, $ B_2$ là vươn lên là cố: “Lần trước tiên rút được quả cầu đen”.

Ta có

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1 $ mathrmPleft(B_1 ight)=fracmm+n, mathrmPleft(B_2 ight)=fracnm+n,$$ mathrmPleft(A|B_1 ight)=fracm-1m+n-1, mathrmPleft(A|B_2 ight)=fracmm+n-1.$

Vì $ igB_1, B_2ig$ là một trong những hệ không thiếu thốn nên theo công thức tỷ lệ đầy đủ, chúng ta có eginalignmathrmP(A)&=mathrmPleft(B_1 ight)mathrmPleft(A|B_1 ight)+mathrmPleft(B_2 ight)mathrmPleft(A|B_2 ight)\=&fracmm+n imesfracm-1m+n-1+fracnm+n imesfracmm+n-1\=&fracmleft(m-1 ight)+mnleft(m+n ight)left(m+n-1 ight)=&fracmleft(m+n-1 ight)left(m+n ight)left(m+n-1 ight)=&fracmm+n.endalignVậy xác suất để quả lấy lần trang bị hai là white là$ fracmm+n$.

Ví dụ 3. Có 10 mẫu túi đựng bi như sau:

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1 4 túi một số loại 1, trong những túi các loại 1 chứa 6 viên bi trắng với 4 viên bi đen,2 túi một số loại 2, trong những túi nhiều loại 2 cất 3 viên bi trắng và 7 viên bi đen,1 túi nhiều loại 3, trong những túi một số loại 3 cất 7 viên bi trắng cùng 3 viên bi đen,3 túi loại 4, trong những túi nhiều loại 4 đựng 4 viên bi trắng với 6 viên bi đen.

Chọn tự dưng 1 cái túi rồi lấy hốt nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để mang được hai viên bi cùng màu.

Hướng dẫn. cam kết hiệu $ B_k$ là đổi thay cố “chọn được túi một số loại $ k$”, $ k=1, 2, 3, 4$ cùng $ A$ là biến hóa cố “lấy được hai viên bi thuộc màu”.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ta có $ igB_1, B_2, B_3, B_4ig $ là hệ rất đầy đủ các biến đổi cố và

eginalignmathrmPleft(B_1 ight)=frac410, mathrmPleft(B_2 ight)=frac210,\mathrmPleft(B_3 ight)=frac110, mathrmPleft(B_4 ight)=frac310,\mathrmPleft(A | B_1 ight)=fracC_6^2+C_4^2C_10^2=frac2145,mathrmPleft(A | B_2 ight)=fracC_3^2+C_7^2C_10^2=frac2445,\mathrmPleft(A | B_3 ight)=fracC_7^2+C_3^2C_10^2=frac2445, mathrmPleft(A | B_4 ight)=fracC_4^2+C_6^2C_10^2=frac2145.endalign

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Theo công thức tỷ lệ đầy đủ$$ mathrmP(A)=mathrmPleft(B_1 ight)mathrmPleft(A | B_1 ight)+mathrmPleft(B_2 ight)mathrmPleft(A | B_2 ight)+mathrmPleft(B_3 ight)mathrmPleft(A | B_3 ight)+mathrmPleft(B_4 ight)mathrmPleft(A | B_4 ight) $$

Suy ra $$ mathrmP(A)=frac410 imes frac2145+frac210 imes frac2445+frac110 imes frac2445+frac310 imes frac2145 =frac219450. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Vậy xác suất cần tìm là $ frac219450$.

Ví dụ 4. Có hai dòng hộp. Hộp trước tiên có 4 bi trắng và 5 bi đen. Hộp trang bị hai tất cả 5 bi trắng cùng 4 bi đen. Chọn tự dưng 3 viên bi ở hộp trước tiên bỏ vào hộp lắp thêm hai rồi kế tiếp chọn tình cờ một viên bi ở hộp sản phẩm công nghệ hai ra. Tính xác suất để lấy được bi white từ hộp vật dụng hai.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hướng dẫn. điện thoại tư vấn $ A$ là biến hóa cố: “Lấy được bi white từ hộp sản phẩm công nghệ hai”, $ B_k$ là biến đổi cố: “Trong 3 viên bi mang ra từ hộp thứ nhất có $ k$ bi trắng”, $ k=0, 1, 2, 3$.

Khi đó $ igB_0, B_1, B_1, B_3ig $ là hệ tương đối đầy đủ các biến hóa cố với ta cóeginalignmathrmPleft(B_0 ight)&=fracC_5^3C_9^3=frac1084,\mathrmPleft(B_1 ight)&=fracC_4^1C_5^2C_9^3=frac4084,\mathrmPleft(B_2 ight)&=fracC_4^2C_5^1C_9^3=frac3084,\mathrmPleft(B_3 ight)&=fracC_4^3C_9^3=frac484.endalign

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Theo công thức tỷ lệ đầy đủ$$ mathrmP(A)=mathrmPleft(B_0 ight)mathrmPleft(A | B_0 ight)+mathrmPleft(B_1 ight)mathrmPleft(A | B_1 ight)+mathrmPleft(B_2 ight)mathrmPleft(A | B_2 ight)+mathrmPleft(B_3 ight)mathrmPleft(A | B_3 ight). $$

Dễ thấyeginalignmathrmPleft(A | B_0 ight)=frac512,quad và mathrmPleft(A | B_1 ight)=frac612,\mathrmPleft(A | B_2 ight)=frac712,quad và mathrmPleft(A | B_3 ight)=frac812.endalign

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Thay các giá trị này vào cách làm xác suất không hề thiếu ta được $$ mathrmP(A)=frac1084 imesfrac512+frac4084 imesfrac612+frac3084 imesfrac712+frac484 imesfrac812 =frac5321008 =frac1936. $$

Vậy tỷ lệ cần tìm kiếm là $ 19/36$.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ví dụ 5. Trong một cái hộp gồm $ n$ sản phẩm, ta bỏ vô cái hộp kia một sản phẩm xuất sắc sau đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm. Tính tỷ lệ để sản phẩm lấy ra là tốt nếu hầu như giả thiết về tâm trạng cấu thành lúc đầu của hộp là đồng xác suất.

Hướng dẫn. hotline $ A$ là trở thành cố: “Lấy được thành phầm tốt”, $ B_i$ là trở thành cố: “Lúc lúc đầu hộp bao gồm $ i$ thành phầm tốt”, $ i=0,1,ldots,n$. Lúc ấy $ igB_0, B_1,ldots, B_nig $ là hệ tương đối đầy đủ các biến hóa cố.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Theo trả thiết $$ mathrmPleft(B_i ight)=frac1n+1, i=0,1,ldots,n.$$

Ta tất cả $ mathrmPleft(A | B_i ight)=fraci+1n+1$ với mọi $ i=0,1,ldots,n$. Theo công thức xác suất đầy đủ

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

$$ mathrmP(A)=sumlimits_i=0^nmathrmPleft(B_i ight)mathrmPleft(A | B_i ight). $$

Thay vào ta đượceginalignmathrmP(A)&=sumlimits_i=0^nfraci+1left(n+1 ight)^2\&=frac1+2+cdots+left(n+1 ight)left(n+1 ight)^2\&=fracleft(n+1 ight)left(n+2 ight)2left(n+1 ight)^2\&=fracn+22left(n+1 ight).endalign

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

4. Phương pháp Bayes – Định lý Bayes

Giả sử $ mathrmP(A)>0$ và $ igB_1, B_2,ldots, B_nig $ là hệ rất đầy đủ các phát triển thành cố với $ mathrmPleft(B_k ight)>0$ với mọi $ k=1,2,ldots,n$. Khi đó với đa số $ k=1,2,ldots,n$, ta tất cả $$ mathrmPleft(B_k | A ight)=frac B_k ight) B_2 ight)+cdots+mathrmPleft(B_n ight)mathrmPleft(A . $$

Ví dụ 1. Dây chuyền gắn thêm ráp nhận thấy các cụ thể do hai vật dụng sản xuất. Trung bình thiết bị thứ nhất cung cấp 60% bỏ ra tiết, thứ thứ hai hỗ trợ 40% đưa ra tiết. Khoảng tầm 90% chi tiết do máy thứ nhất sản xuất là đạt được tiêu chuẩn, còn 85% cụ thể do sản phẩm thứ hai sản xuất là đã đạt được tiêu chuẩn. Lấy tự nhiên từ dây chuyền sản xuất một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó vị máy đầu tiên sản xuất.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hướng dẫn. điện thoại tư vấn $ A$ là vươn lên là cố: “Chi tiết rước từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn”, $ B_1$ là đổi thay cố: “Chi tiết do máy đầu tiên sản xuất” với $ B_2$ là biến đổi cố: “Chi tiết vị máy thiết bị hai sản xuất”. Ta phải tính tỷ lệ $ mathrmPleft(B_1|A ight)$.

Theo phương pháp Bayes $$ mathrmPleft(B_1|A ight)=fracmathrmPleft(B_1 ight)mathrmPleft(AB_2 ight). $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Theo đk bài toán $$ mathrmP(B_1)=0,6; mathrmP(B_2)=0,4; $$$$ mathrmP(A|B_1)=0,9; mathrmP(A|B_2)=0,85. $$

Thay vào ta tất cả $$ mathrmPleft(B_1|A ight)=frac0,6 imes 0,90,6 imes 0,9+0,4 imes 0,85=0,614. $$

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Sau đấy là một câu hỏi khá danh tiếng trong phần trăm thống kê, được giải theo nhiều cách thức khác nhau. Ta thử giải bài toán này bằng định lý Bayes.Ví dụ 2. Một gia đình có hai đứa trẻ. Biết có ít nhất có một đứa trẻ em là phụ nữ và sinh vào thiết bị 3. Hỏi tỷ lệ 2 đứa trẻ số đông là phụ nữ là bao nhiêu?

Hướng dẫn. bọn họ có thừa nhận xét sau:

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1 phần trăm để một đứa trẻ sinh vào một ngày nhất mực trong tuần là $ 1/7$.Giới tính của đứa trẻ với ngày sinh của nó là 2 sự kiện không tương quan đến nhau.

Ta ký kết hiệu các biến nỗ lực như sau:

$ B$ là phát triển thành cố “Ít tuyệt nhất 1 đứa trẻ con là phụ nữ sinh ra vào sản phẩm công nghệ 3”,$ A$ là biến chuyển cố “Cả 2 đứa trẻ đa số là nhỏ gái”, tỷ lệ là $ mathrmP(A)=1/4$,$ A_1$ là biến cố “Chỉ một trong 2 đứa trẻ em là bé gái”, $ mathrmP(A_1)=1/2$,$ C $ là trở thành cố “Đứa trẻ hiện ra vào máy 3”, $ mathrmP(C)=1/7$,$ overlineC $ là vươn lên là cố “Đứa trẻ hiện ra vào đồ vật 3”, $ mathrmP(overlineC)=6/7$.

Để áp dụng định lý Bayes tính $ mathrmP(A | B)$ ta cần tính được $ mathrmP(B|A)$ cùng $ mathrmP(B)$.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

$ mathrmP(B|A)$ được đọc là phần trăm ít tốt nhất 1 đứa trẻ con là con gái sinh ra vào trang bị 3 nếu như biết trước 2 đứa trẻ em là bé gái.Ta đang tính tỷ lệ phần bù $ mathrmP(overlineB|A)$, đây là xác suất để không có đứa con trẻ nào sinh ra vào thiết bị 3.$$ mathrmP(overlineB|A) = mathrmP(overlineC) mathrmP(overlineC) = dfrac67 imes dfrac67 = dfrac3649 $$Như vậy ta có$$ mathrmP(B|A) = 1 – mathrmP(overlineB|A) = dfrac1349 $$$ mathrmP(B)$ là phần trăm sự ít nhất 1 đứa trẻ là đàn bà sinh ra vào sản phẩm 3. Sự kiện này bao hàm 2 khả năng:

Cả 2 đứa trẻ phần lớn là đàn bà $ A$,Chỉ 1 đứa trẻ con là đàn bà $ A_1$.

Ta gồm eginalignmathrmP(B) &= mathrmP(BA) + mathrmP(BA_1) \&= mathrmP(B|A)mathrmP(A) + mathrmP(B|A_1)mathrmP(A_1)\&= dfrac1349 imes dfrac14 + dfrac17 imes dfrac12\&=dfrac27196endalign

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Thay vào định lý Bayes, ta tính được$$ mathrmP(A | B) = dfracmathrmP(BmathrmP(B) = dfrac frac1349 imes frac14 frac27196 = dfrac1327 approx 0,481 $$Chúng ta có thể minh họa bằng hình vẽ sau đây, xác suất cần search chính thông qua số ô greed color chia mang đến tổng số ô màu sắc vàng và xanh.

Xem thêm: Soạn Bài Ôn Tập Truyện Và Kí (Chi Tiết), Soạn Bài: Ôn Tập Truyện Và Kí

Ta cần sử dụng một đoạn code Python nho nhỏ dại để đánh giá thử kết quả vừa tính được.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

import randomdef random_kid(): gender = random.choice(<"boy", "girl">) birth_date = random.choice(<"mon", "tue", "wed", "thu", "fri", "sat", "sun">) return (gender, birth_date)both_girls = 0tuesday_girl = 0random.seed(0)total = 100000for _ in range(total): first_child = random_kid() second_child = random_kid()if first_child == ("girl", "tue") or second_child == ("girl", "tue"): tuesday_girl += 1if first_child<0> == "girl" & second_child<0> == "girl": both_girls += 1print("both_girls = ", both_girls)print("tuesday_girl = ", tuesday_girl)print("P(both_girls|tuesday_girl) = ", both_girls / tuesday_girl)Đoạn code trên thực hiện random 100K dữ liệu. Thu được công dụng in ra như sau

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1