Các Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên

     

Hướng dẫn, phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên qua một vài ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, rất hạn, loại trừ, phân tách hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài tập mà những em áp dụng một giỏi nhiều cách thức để giải việc phương trình nghiệm nguyên.




Bạn đang xem: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên

I. Phương thức 1 : sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: tìm x, y nguyên tố thoả mãn

y2 – 2x2 = 1

Hướng dẫn:

Ta gồm y2 – 2x2 = 1 ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y là số lẻ

Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta gồm (2k + 1)2 = 2x2 + 1

⇔ x2 = 2 k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x yếu tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: tra cứu nghiệm nguyên dương của phương trình

(2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + 1 lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn

2|x| + y + x2  + x = 2|x| + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ 2|x|  lẻ ⇒ 2|x| = 1 ⇒ x = 0

Thay x = 0 vào phương trình ta được

(5y + 1) ( y + 1) = 105 ⇔ 5y2 + 6y – 104 = 0

⇒ y = 4 hoặc y = $ displaystyle -frac265$ ( loại)

Thử lại ta bao gồm x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình

II.

Xem thêm: Những Câu Stt Hay Về Tình Yêu Và Cuộc Sống Giúp Bạn Thay Đổi Hoàn Toàn


Xem thêm: Looking Back Trang 34 Unit 9 Tiếng Anh Lớp 7 Trang 34 Tập 2, Looking Back Unit 9: Festivals Around The World


Phương thức 2 : phương pháp phân tích

Thực chất là đổi khác phương trình về dạng:

g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: tìm kiếm nghiệm nguyên của phương trình

x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1

⇔ (x+1)4 – y2 = 1 ⇔ <(x+1)2 –y> <(x+1)2+y>= 1

⇔ $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=1\(x+1)_^2+y=1endarray ight.$ hoặc $ displaystyle left{ eginarrayl(x+1)_^2-y=-1\(x+1)_^2+y=-1endarray ight.$

$ displaystyle left< eginarrayl1+y=1-y\-1+y=-1-yendarray ight.$

⇒ y = 0 ⇒ (x+1)2 = 1 ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = 0 hoặc x = -2

Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( – 2, 0 )

III. Phương pháp 3 : cách thức cực hạn

Sử dụng so với 1 số việc vai trò của những ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: search nghiệm nguyên dương của phương trình:

5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

phía dẫn:

Ta đưa sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1

Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

*
*
*
*
*
*
*

⇒ (x- n) (x+ n) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2

Vậy phương trình bao gồm nghiệm nguyên

(x, y) = (2; -5); (-2, 3)

Ví dụ 15: tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta tất cả x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta gồm phương trình bậc 2 ẩn x. Mang sử phương trình bậc 2 gồm 2 nghiệm x1, x2

Ta có: $ displaystyle left{ eginarraylx_1+x_2=y+5\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ $ displaystyle left{ eginarrayl5x_1+5x_2=5y+25\x_1x_2=5y+2endarray ight.$

⇒ 5 x1 + 5x2 – x1x2 = 23

⇔ (x1 -5) (x2 -5) = 2 mà lại 2 = 1.2 = (-1)(-2)

⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2

thay vào phương trình ta tìm kiếm được các cặp số

(x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 16: search nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

hướng dẫn:

Ta gồm x2 –xy + y2 = 3 ⇔ (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$

Ta thấy (x- $ displaystyle fracy2$)2 = 3 – $ displaystyle frac3y_^24$ ≥ 0