CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC

     

Kì thi đại học, cđ là kì thi đặc trưng đối với mỗi học tập sinh. Dưới đó là chuyên đề "Bất đẳng thức luyện thi đh năm 2015" giúp những em soát sổ lại review kiến thức của bản thân và tất cả thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới đây được xuất sắc hơn.




Bạn đang xem: Chuyên đề bất đẳng thức luyện thi đại học


www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp LÊ XUÂN ĐẠI (GV trung học phổ thông Chuyên Vĩnh Phúc) Bất đẳng thức (BĐT) là trong số những dạng toán thường xuyên có trong những đề thi ĐH-CĐ. Các thí sinh của chúng ta đều khôn xiết sợ và khiếp sợ khi chạm mặt phải việc chứng minhBĐT hoặc tìm giá bán trị phệ nhất, bé dại nhất. Đơn giản là do những bài toán về BĐT thường là bàitoán khó khăn trong đề thi, nhằm mục đích phân nhiều loại và chọn được các học sinh khá giỏi. Thường xuyên thì các sĩtử ko biết bắt đầu từ đâu để giải quyết các việc về BĐT. Siêng đề này muốn hệthống cho chúng ta các phương pháp cơ bạn dạng và một trong những dạng bài tập về BĐT. Hi vọng sẽgiúp những em học sinh lớp 12 đạt hiệu quả cao vào kì thi ĐH- CĐ chuẩn bị tới. Đọc xong xuôi chuyên đề này tôi tin các bạn sẽ không còn cảm xúc sợ bất đẳng thức nữaKhi họ hết đi sự lo ngại và ngại ngần thì họ sẽ đam mê với dành tình yêu mang đến nó.Dành tình yêu với sự đam mê cho toán học tập nói thông thường và BĐT nói riêng là điều rất nên thiếtcủa một người làm toán sơ cấp chân bao gồm và sự hữu tình của toán học tập cũng bắt mối cung cấp từđó… thành công xuất sắc chỉ đến khi bạn làm câu hỏi tận vai trung phong và luôn luôn nghĩ tới những điều tốtđẹp… đầy đủ lời khuyên bổ ích khi học về BĐT: 1. Cố chắc các đặc thù cơ phiên bản của BĐT. 2. Nắm vững các phương pháp cơ bạn dạng chứng minh BĐT như: PP biến hóa tươngđương; PP sử dụng BĐT Cô si; PP áp dụng đạo hàm… 3. Đặc biệt chú trọng vào ôn tập những kỹ thuật áp dụng BĐT Cô si, luôn biết đặt với trảlời các câu hỏi như: bao giờ áp dụng; điều kiện cho các biến là gì; vết bằng xảy ra khi nào;nếu áp dụng thế thì có xẩy ra dấu bằng không; vì sao lại thêm giảm như vậy… 4. Luôn bước đầu với các BĐT cơ bạn dạng (điều này hết sức quan trọng); học tập thuộc mộtsố BĐT cơ bạn dạng có nhiều áp dụng nhưng phải để ý điều kiện áp dụng được, chẳng hạn như: * a 2  b 2  c2  ab  bc  ca (1) với đa số a,b,c 1 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp * (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) (2) với đa số a,b,c * (a  b  c) 2  3(a 2  b 2  c2 ) (3) với tất cả a,b,c 1 1 4 1 1 1 9 *   ;    (4) với đa số a,b,c dương a b a b a b c a bc * a 2  x 2  b 2  y 2  (a  b) 2  (x  y) 2 (5) với mọi a,b,x,y. X 2 y 2 (x  y)2 *   (6) với mọi a,b dương và x,y ngẫu nhiên a b ab x 2 y 2 z 2 (x  y  z)2 *    (7) với tất cả a,b,c dương và x,y,z bất kỳ a b c abc ………Dấu bằng xảy ra ở các BĐT (1), (2), (3) với (4) là a=b=c. X y x y zDấu bằng xảy ra ở BĐT (5) và (6) là  ; sinh sống (7) là   (với chủng loại khác 0). A b a b c(Các em hãy bắt tay ngay vào việc chứng minh các BĐT cơ bản trên nhé. Hãy tìm mang lại mìnhmột cách quán quân quán, 1-1 giản, ghi nhớ nó với khi làm bài bác thi phần nhiều phải minh chứng lại, rồimới được áp dụng). Trước hết xin đề xuất 3 phương thức thông dụng độc nhất để minh chứng BĐTI. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:1. Cách thức chung Để minh chứng A  B ta thường thực hiện theo 1 trong các hai cách sau:Cách 1: Ta chứng minh A  B  0 . Để làm cho được điều này ta thường áp dụng hằng đẳngthức nhằm phân tích A  B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.Cách 2: bắt đầu từ một BĐT đúng nào đó ta biến đổi đến BĐT yêu cầu chứng minh. Đối vớicách này thường mang lại ta giải thuật không được thoải mái và tự nhiên cho lắm và thường thực hiện khi cácbiến bao gồm ràng buộc đặc biệt.Chú ý: Một số tác dụng hay sử dụng * x 2  0 với tất cả x   cùng x 2  0  x  0 * x  0 với mọi x   cùng x  0  x  02. Một vài ví dụ 2 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvpVí dụ 1: minh chứng rằng với mọi a, b   ta có: a 2  b 2  2ab (1)Giải: Ta bao gồm a 2  b 2  2ab  (a  b) 2  0  a 2  b 2  2ab (đpcm).Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=b.Thật dễ dàng phải không những bạn, nếu như tinh ý thêm một chút ít thôi các các bạn sẽ tìm ra nhữngkết quả bao quát hơn và niềm tin để quá qua bài BĐT vào đề thi ĐH là trọn vẹn khảthi.Cụ thể là với cha số thực a,b,c bất kỳ ta có a 2  b2  2ab ; b 2  c2  2bc và a 2  c 2  2acCộng từng vế của 3 BĐT ta được tác dụng sau: a 2  b 2  c2  ab  bc  ca (2)Có thể thấy ngay gồm hai BĐT tương đương với (2) rất rất gần gũi là (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) (3) với mọi a,b,c (a  b  c) 2  3(a 2  b 2  c 2 ) (4) với tất cả a,b,cChúng ta đã nói thêm ứng dụng tuyệt vời nhất của bố BĐT (2), (3) cùng (4) ở phần nhiều phần sauVí dụ 2: minh chứng rằng với mọi a, b,c   ta có: a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c)Giải: Áp dụng tiếp tục BĐT (2) trong lấy ví dụ 1 ta được: a 4  b 4  c4  (a 2 ) 2  (b 2 ) 2  (c 2 ) 2  a 2 b 2  b 2c2  c 2a 2  (ab)2  (bc) 2  (ac) 2  ab.bc  ab.ac  bc.ac  abc(a  b  c)Như vậy trường hợp đề thi hỏi chúng ta một bài bác như sau: “Cho 3 số thực a,b,c chấp nhận a  b  c  1 . Chứng tỏ rằng: a 4  b 4  c4  abc ” thìchắc các bạn đã có cơ hội cao để lấy điểm 10 rồi! (Hãy cứ sáng sủa lên như thế!)Ví dụ 3: chứng tỏ rằng với mọi a, b  0 ta có: a 3  b3  a 2 b  ab2Giải: Ta biến đổi a 3  b 3  a 2 b  ab 2  (a  b) 2 (a  b)  0 , suy ra đpcm.Nhận xét: BĐT trên thật dễ dàng và đơn giản nhưng cũng có nhiều ứng dụng với các bài toán khóhơn, ví dụ điển hình ta xét 3 vấn đề sau:Bài 3.1. Mang lại a, b,c  0 . Minh chứng rằng: 1 1 1 1    a 3  b 3  abc b3  c3  abc a 3  c3  abc abc 3 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvpHướng giải: Ta tất cả a 3  b 3  a 2 b  ab 2  ab(a  b)  a 3  b3  abc  ab(a  b  c) 1 1 Suy ra 3 3  . A  b  abc ab(a  b  c)Cùng hai BĐT giống như ta được một 1 1 1 VT     (đpcm). Ab(a  b  c) bc(a  b  c) ac(a  b  c) abc xin đưa ra thêm nhì hệ trái của việc trên (coi như bài xích tập cho các bạn luyện tập) 1 1 1 * mang đến a, b,c  0 vừa ý abc=1. Khi đó: 3 3  3 3  3 3 1 a  b 1 b  c 1 a  c 1 1 1 1 * đến a, b,c  0 thoả mãn abc=1. Khi đó:   1 a  b 1 b  c 1 a  c 1 (che dấu thực chất hơn)Bài 3.2. đến a,b,c ko âm toại ý a  b  c  2012 . Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức phường  3 4(a 3  b3 )  3 4(b 3  c3 )  3 4(a 3  c3 )Hướng giải: new nhìn BĐT ta cảm xúc rất khó khăn vì bao gồm căn bậc 3 với điều đặc trưng làphải up load được biểu thức trong vệt căn. Bất đẳng thức a 3  b 3  a 2b  ab 2 mang đến ta một “manhmối” để tìm ra giải mã bài toán, dẫu vậy nếu áp dụng nguyên xi vì vậy thì không ổn. Ta biếnđổi một chút ít BĐT này a 3  b3  a 2 b  ab 2  3(a 3  b 3 )  3(a 2b  ab 2 )  4(a 3  b 3 )  (a  b)3Như vậy ta có thu được BĐT 4(a 3  b3 )  (a  b)3 .Chắc các bạn cũng đồng ý với tôi rằng phép biến đổi đó rất tự nhiên chứ.Bây giờ áp dụng BĐT vừa tìm được ta có p  3 4(a 3  b 3 )  3 4(b3  c3 )  3 4(a 3  c3 )  (a  b)  (b  c)  (c  a)  2(a  b  c)  4024 2012Đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi a  b  c  . 3Vậy GTNN của phường bằng 4024.Bài toán tổng quát: đến a,b,c không âm tán đồng a  b  c  k . Tìm giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của p.  3 m(a 3  b3 )  3 m(b 3  c3 )  3 m(a 3  c3 ) 4 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp ( m, k là các hằng số dương mang lại trước)Bài 3.3. Kí hiệu A,B,C là ba góc của một tam giác bất kì. Tìm giá bán trị lớn số 1 của 3 sin A  3 sin B  3 sin C P A 3 B C 3 cos  cos  3 cos 2 2 2Hướng giải: Đây quả là một bài toán khó, ta hãy tìm mẫm theo những đầu mối bé dại nhé * máy nhất: Ta đã gồm một đánh giá rất thân thuộc trong tam giác: C AB C sin A  sin B  2cos .cos  2cos 2 2 2 om * máy hai: những căn bậc 3 nhắc nhở ta suy nghĩ tới BĐT: a  b  3 4(a 3  b3 ) C C .c 3Như vậy, ta tất cả sin A  3 sin B  3 4(sin A  sin B)  3 4.2cos  2. 3 cos 2 2Tương từ bỏ ta tất cả 3 sin B  3 sin C  2. 3 cos A cùng 3 H sin A  3 sin C  2.3 cos B AT 2 2Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được M 3 A 3 B C sin A  3 sin B  3 sin C  3 cos  cos  3 cos N 2 2 2 .VVậy p.  1 . Vết bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi A=B=C wDo đó giá trị lớn số 1 của p. Bằng 1 khi tam giác ABC đều. WVí dụ 4: chứng tỏ rằng cùng với a, b,c là 3 cạnh một tam giác ngẫu nhiên ta có: w ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca)Giải: BĐT phía trái đã bệnh minh, để minh chứng BĐT bên yêu cầu ta khởi nguồn từ một BĐTcơ bản trong tam giác là b  c  a  b  c . * Nếu thực hiện b  c  a thì ta chuyển đổi như sau: a  b  c  a 2  (b  c) 2  b 2  c 2  2bc  a 2  b 2  c 2  2bcTương từ b2  a 2  c2  2ac ; c 2  a 2  b2  2ab . Cùng theo từng vế bố BĐT ta được đpcm. * Nếu thực hiện a  b  c thì ta đổi khác như sau: a  b  c  a 2  ab  ac , cùng hai BĐT tương tự như ta gồm đpcm. 5 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvpVí dụ 5: chứng tỏ rằng với đa số a, b, x, y   ta bao gồm BĐT sau (BĐT Mincôpxki) a 2  x 2  b 2  y 2  (a  b) 2  (x  y) 2 (1)Giải: Bình phương nhì vế và đổi khác tương đương: a 2  x 2  b 2  y 2  2 (a 2  x 2 )(b 2  y 2 )  a 2  x 2  b 2  y 2  2ab  2xy  (a 2  x 2 )(b 2  y 2 )  ab  xy (*) + nếu như ab  xy  0 thì rõ ràng (*) đúng + nếu như ab  xy  0 thì (*)  (a 2  x 2 )(b 2  y 2 )  (ab  xy) 2  (bx  ay) 2  0 (luôn đúng) Vậy việc được hội chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi bx=ay. OmChú ý: tất cả thể minh chứng BĐT trên bằng phương pháp sử dụng BĐT véc tơ rất đơn giản dễ dàng như sau(khi làm bài thi ĐH chúng ta phải chứng minh BĐT này trước khi sử dụng nó, thời gian đó chúng ta .chãy lựa chọn 1 phương án chứng minh mà chúng ta cho là hay với dễ ghi nhớ nhất. OK). H     Đặt u  (a; x) và v  (b; y) , khi đó u  v  (a  b; x  y) . AT    Từ BĐT véc tơ u  v  u  v và bí quyết độ dài véc tơ ta bao gồm ngay đpcm. MNếu vận dụng hai lần BĐT (1) ta được BĐT sau: N a 2  x 2  b2  y 2  c2  z 2  (a  b  c) 2  (x  y  z) 2 với đa số a, b, c, x, y, z   . .VNhận xét: BĐT Mincôpxki có không ít ứng dụng tuyệt và có thể giải quyết được rất nhiều bài wBĐT hóc búa. Xin được minh hoạ điều đó qua 3 câu hỏi cơ bản sau đây: wBài 5.1. Cho a,b không âm đống ý a  b  1 . W a) chứng minh rằng: 1  a 2  1  b 2  5 1 1 b) Tìm giá chỉ trị nhỏ dại nhất của p  a 2  2  b2  2 b aHướng giải: 1 a) Ta có một  a 2  1  b2  (1  1) 2  (a  b)2  5 . Đẳng thức xảy ra khi a  b  . 2 2 2 1 1 1 1  4  b) Ta có phường  a  2  b2  2  (a  b)2      (a  b) 2   2   17 . B a a b ab 6 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 1Đẳng thức xảy ra khi a  b  . Vậy GTNN của p. Bằng 17 . 2Bài 5.2. đến x,y,z dương đồng tình x  y  z  1 . Chứng tỏ rằng: 1 1 1 x2  2  y 2  2  z 2  2  82 x y zHướng giải: Áp dụng BĐT Mincôpxki ta được 2 1 1 1 1 1 1 phường  x2  2  y 2  2  z 2  2  (x  y  z) 2      x y z x y z 2 2 9   (x  y  z)     82 (*) om  x yz  1Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn khi x  y  z  . .c 3 HVới giả thiết x  y  z  1 ta nạm trực tiếp vào (*) và được tác dụng là 82 . Tuy nhiên nhiều AT 1khi đề bài lại mang đến giả thiết khó đi vô cùng nhiều, tuy vậy dấu bởi vẫn xảy ra khi x  y  z  . 3 MChẳng hạn đề ĐH khối A năm 2003: mang đến x,y,z dương đống ý x  y  z  1 . N 1 1 1Chứng minh rằng: x2  2  y 2  2  z 2  2  82 . X y z .VVới bài toán này ta không thể cố gắng x  y  z  1 để ra ngay tác dụng như bài xích trên được. Đứng wtrước tình huống này ta có ngay nhị hướng giải quyết. W 81Hướng 1: Đặt t  (x  y  z) 2  0  t  1 . Ta có phường  t  . W t 81  1  80 1 80Ta “tách khéo” để cần sử dụng BĐT Côsi: t    t     2 t.   82  phường  82 . T  t t t 1 81Hướng 2: Vẫn đặt t  (x  y  z) 2 cùng xét hàm f (t)  t  ; 0  t  1. T 81 t 2  81Ta gồm f "(t)  1    0 t   0;1 , suy ra hàm f(t) nghịch đổi mới trên  0;1 . T2 t2Do đó f (t)  f (1)  82  phường  82 .Hướng xử lý thứ hai sẽ tiến hành đề cập ở phần sau của siêng đề. 7 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvpBài 5.3. Mang đến x,y,z dương tán thành x  y  z  5 . Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của phường  223  x 2  223  y 2  223  z 2Hướng giải: Ta có p  ( 223)2  x 2  ( 223)2  y 2  ( 223)2  z 2  (3 223) 2  (x  y  z) 2  2012 5Đẳng thức xảy ra khi x  y  z  . Vậy GTNN của p. Bằng 2012 . 3 chắc hẳn rằng không bắt buộc nói gì hơn nữa thì chúng ta cũng đã thấy vẻ đẹp và sức khỏe củaBĐT Mincôpxki. Nhưng mà tôi đề cập lại rằng phải minh chứng lại BĐT này trước lúc áp omdụng nhé!3. Bài tập từ luyện .cBài 1. Chứng tỏ rằng: a, b, c, d, e  R, ta có: a) a2  b2  c2  d2  e2  a(b  c  d  e ) . H AT 3 a3  b 3  a  b  b)   ( a  b  0). 2  2  MBài 2. Chứng minh rằng: N a) ( a5  b5 )( a  b )  ( a4  b 4 )( a2  b 2 ), a, b : ab  0. .V 1 1 2 b)   , a, b  1. 1  a2 1  b2 1  ab wBài 3. Mang đến  ABC. Minh chứng rằng: w a) a(b  c)2  b( c  a)2  c( a  b )2  a3  b3  c3 . W b) a2  b2  c2  2(ab  bc  ca).Bài 4. Minh chứng rằng: a) (a  c)(b  d)  ab  cd , a,b,c,d  0 b) (a  c)2  (b  d)2  a 2  b 2  c 2  d 2 , a,b,c,d  R  1 1 1  1 1 c) b     (c  a)  (c  a)     abc0 c a b c a b c a a b c d)       abc0 a b c b c a 8 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvpBài 5. Mang lại a, b > 0: a + b = 2. Chứng tỏ rằng ab  a a b bBài 6. Mang lại hai số thực a ,b vừa lòng a + b ≥ 2. Chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3Bài 7. Cho bố số a ,b ,c  <0;1>. Minh chứng rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1Bài 8. Mang lại a,b,c thỏa mãn a  b  c  1 . Minh chứng rằng: 1 1 1 a b c a  b  c  3 a  b  c  3 3 3 3 3 3 Bài 9. Cho a,b,c dương. Minh chứng rằng: a 2  ab  b 2  b 2  bc  c 2  a 2  ac  c 2  a  b  c omII. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ ham .c1. Bất đẳng thức Côsi a) cho a  0, b  0 . Khi ấy ab 2 H  ab . Đẳng thức xẩy ra khi a=b. AT a bc 3 b) cho a  0, b  0, c  0 . Lúc ấy  abc . Đẳng thức xẩy ra khi a=b=c. 3 M 2 ab N những dạng tương đương là: a  b  2 ab ; ab     2  .V 3 3 a bc a  b  c  3 abc ; abc    w  3  w c) Tổng quát: đến n số thực ko âm a1 , a 2 ,..., a n ( n  2) . Lúc đó ta tất cả w a1  a 2  ...  a n  n n a1a 2 ...a n Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi a1  a 2  ...  a n .Chú ý: Với các bài thi ĐH- CĐ thông thường chỉ cần áp dụng BĐT Côsi với 2 hoặc 3 số.2. Một số ví dụVí dụ 1: minh chứng rằng: a b a b a)   2 a, b  0 b)   2 a, b  0 b a b a 9 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp a b a bGiải. A) áp dụng BĐT Côsi mang đến hai số dương ta có:   2 .  2 (đpcm) b a b a lốt bằng xẩy ra khi a=b. B) Ta không thể vận dụng ngay BĐT Côsi bởi chỉ có điều kiện a, b  0 . Chuyển đổi tươngđương BĐT bằng phương pháp bình phương nhì vế: 2 a b a b a 2 b2  2   4 2  2 2 b a b a b a Đến đây theo BĐT côsi thì BĐT sau là đúng, vậy ta có đpcm để ý là vết bằng xẩy ra khi a  b . Om a bCũng hoàn toàn có thể thấy ngay lập tức rằng và thuộc dấu bắt buộc ta gồm b a .ca b a b     2 (lúc này lại áp dụng BĐT Côsi được) Hb a b a ATVí dụ 2: đến a,b,c dương. Chứng minh rằng: 1 1 4 1 1 1 9 a)   (1) b)    (2) M a b ab a b c abc 1 1 NGiải. A) giả dụ viết lại BĐT cần minh chứng dưới dạng (a  b)     4 thì hướng giải a b   .Vquyết là thừa rõ ràng. Thiệt vậy, vận dụng BĐT Côsi mang lại hai số dương ta được w 1 1 1 a  b  2 ab cùng  2 . W a b ab w 1 1 1Suy ra (a  b)     4 ab.  4 . Vết “=” xảy ra khi và chỉ còn khi a=b  a b ab b) hoàn toàn tương tự với phần a) bằng cách áp dụng BĐT Côsi cùng với 3 số.Nhận xét: nhì BĐT trong ví dụ 1 có nhiều ứng dụng cùng cũng là nhỏ đường sáng tạo ravô vàn các BĐT hay. Có thể nói rằng phần lớn những BĐT trong đề thi ĐH- CĐ bao gồm gốc tích của haiBĐT này. Nói ra các áp dụng tuyệt của hai BĐT này thì rất nhiều vô đề cập và không biết sẽ tốnkém bao giấy mực, tôi xin hướng dẫn chứng ra vài câu hỏi điển hình.Bài 2.1. Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng: 10 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp * cho x,y,z dương toại nguyện x  2y  4z  12 . Chứng tỏ rằng: 2xy 8yz 4xz    6. X  2y 2y  4z 4z  xVới việc này, các bạn chỉ yêu cầu coi a  x;b  2y;c  4z thì a  b  c  12 và BĐT bắt buộc ab bc acchứng minh trở thành:    6 (đây chính là hệ trái của (7) rồi. OK) ab bc acBài 2.4. Call a,b,c là tía cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi tam giác đó. Chứng minhrằng: 1 1 1 1 1 1    2     (8) om pa pb pc a b cHướng giải: dễ dàng thấy p.  a  0;p  b  0;p  c  0 cùng nhận xét rằng .c (p  a)  (p  b)  2p  a  b  c HĐiều này nhắc nhở ta cần sử dụng BĐT (1) đến hai số p-a với p-b. Ví dụ là: AT 1 1 4 4    p  a p  b (p  a)  (p  b) c MCùng nhì BĐT tương tự ta được BĐT (8) cần chứng minh NBài 2.5. Cho a,b,c dương. Chứng tỏ rằng: .V  1 1 1  3 a 2  b2  c2       a  b  c  (9) a b bc ca  2 w w 9 3 3(a 2  b 2  c 2 ) 3 Hướng giải: Ta gồm VT(9)  a 2  b 2  c 2 .   . 2(a  b  c) 2 abc  (a  b  c) 2 w ( bởi (a  b  c) 2  3(a 2  b 2  c 2 ) )Bài 2.6. Mang đến x,y,z dương đồng tình x  y  z  1 .

Xem thêm: Bộ Đề Cương Ôn Tập Lịch Sử Lớp 5 Học Kì 2 Môn Lịch Sử Lớp 5 Năm 2021



Xem thêm: Trường Cao Đẳng Kiên Giang (Ckg), Trường Cao Đẳng Kinh Tế Kỹ Thuật Kiên Giang (Ckg)

Tìm giá chỉ trị lớn nhất của biểu thức x y z P   . X 1 y 1 z 1Hướng giải: Để rất có thể áp dụng được BĐT (2) ta biến hóa P như sau: x  1 1 y  1  1 z  1  1  1 1 1  P    3    x 1 y 1 z 1  x 1 y 1 z 1  12 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 1 1 1 9 9 9 3Ta gồm     , suy ra phường  3   x 1 y 1 z 1 x  y  z  3 4 4 4 1 3Dấu bằng xẩy ra khi còn chỉ khi x  y  z  . Vậy GTLN của phường bằng . 3 4Với giải thuật như bên trên các bạn cũng có thể làm hoàn toàn tương trường đoản cú với việc tổng quát hơnBài 2.7. Mang lại x,y,z dương chấp nhận x  y  z  1 và k là hằng số dương cho trước. X y z Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức p    . Kx  1 ky  1 kz  1Bài 2.8. đến a,b,c dương tán đồng a  b  c  1 . Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức om 1 1 1 P 2  2  2 a  2bc b  2ac c  2ab .c 9 9Hướng giải: Ta tất cả ngay p    9. A  2bc  b  2ac  c  2ab (a  b  c) 2 2 2 2 H AT a  b  c 1 dấu bằng xẩy ra khi   a  b  c  . Vậy Pmin  9 . a  b  c  1 3 MBài 2.9. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Minh chứng rằng: N 1 1 1 6    2  cos2A 2  cos2B 2  cos2C 5 .V 1 1 1 9Hướng giải: Ta gồm    w 2  cos2A 2  cos2B 2  cos2C 6  cos2A  cos2B  cos2C w 3Dễ minh chứng được rằng cos2A  cos2B  cos2C  (các các bạn hãy tự chứng minh nhé) w 2 1 1 1 9 6Suy ra     (đpcm) 2  cos2A 2  cos2B 2  cos2C 6  3 5 2Bài 2.10. Mang lại a,b,c dương bằng lòng a  b  c  1 . Minh chứng rằng: 1 1 1 1 2 2 2     30 (10) a b c ab bc acHướng giải: Ta nhận xét vế trái của (10) một giải pháp rất thoải mái và tự nhiên như sau: 1 1 1 1 1 9 2 2 2     2 2 2  a b c ab bc ac a  b  c ab  bc  ca 13 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp  1 1 1  7 = 2 2 2     a b c ab  bc  ca ab  bc  ca  ab  bc  ca 9 7 9 7  2     30 (a  b  c) ab  bc  ca 1 1 3 1 1 (do BĐT cơ bạn dạng ab  bc  ca  (a  b  c)2  ) 3 33. Bài bác tập từ luyệnBài 1. Mang đến a, b, c > 0. Chứng tỏ rằng: 1 1 1 om 3 a) ( a  b  c)(  a  )9. B c b)  (1  a)(1  b )(1  c )  1  3 abc  a2 b2 c2 abc a 2  b2 b2  c2 c2  b2 .c c)    d) a  b  c    b c c  a a b 2 2c 2a 2aBài 2. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của mỗi biểu thức sau: H AT 1 3 A  2a  cùng với a > 0. B  x3  cùng với x > 0. A2 x2 MBài 3. đến a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = 2. Tìm giá bán trị nhỏ nhất của: T  a3  b3  c3 NBài 4. Mang lại x, y, z > 0: x + y + z = 1. Tìm kiếm Min: R  x 4  y 4  z 4 . .VBài 5. Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau: M  x(3  2x ); (0  x  3 / 2). W N  (1  x )(2  y )(4x  y ); (0  x  1, 0  y  2). W p.  x(1  x )3 ; 0  x  1. WBài 6. Chứng tỏ rằng với a, b, c > 0 ta có: ab bc ca a)   6 c a b a b c 3 b)    . Bc ca ab 2 bc c a ab c)    a b c a b c  1 1 1  3 d) a 2   b2  c 2      (a  b  c) a b b c c a  2 14 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp a b c 1 1 1 1  e) 2 2  2 2  2 2      a b b c c a 2a b c  a b b c c a  1 1 1 f) 2 2  2 2  2     2 a b b c c a a b c  a b cBài 7. đến  ABC với ba cạnh là a,b,c. CMR:    3. B ca cab abcBài 8. Mang lại a, b  1 . Chứng tỏ rằng: a b  1  b a  1  ab .Bài 9. Mang đến  ABC. Chứng tỏ rằng: 1 a) ( p  a)( p  b )( p.  c)  abc . 8 om 1 1 1 1 1 1 b)    2(   ) . Pa pb pc a b c .cBài 10. Mang đến a,b,c  0 cùng a b c  1. Minh chứng rằng: 1  1  H 1 9 AT a2  2bc b 2  2ca c 2  2abBài 11. Chứng minh rằng: M 1 1 a) a  3 , a  b  0 b) a  2 2 , a  b  0 b(a  b) b(a  b)2 N 4 a2  2 .V c) a  3 , a  b  0 d)  2 , a  R (a  b)(b  1)2 a2  1 w x2 y2 1  1 2  e)   x, y  R f) (x  1)2  2   1   16 x  0 w 4 4 1  16x 1  16y 4 x x  w 8Bài 12. Cho a,b,c  0 với a  b  c  1. CMR: abc(a  b)(b  c)(c  a)  729 a b c 3 3Bài 13. Mang lại a,b,c  0 cùng a2  b 2  c 2  1 . CMR:    b2  c 2 c 2  a2 a2  b 2 2 1 1 2 ab c bBài 14. Cho a,b,c  0 :   . CMR:  4 a c b 2a  b 2c  b 1 1 1 1Bài 15. A) mang đến a , b , c > 0 cùng   2. CMR: abc  . 1  a 1 b 1 c 8 1 1 1 1 1 b) mang lại a,b,c,d  0 vừa ý    3 . CMR: abc d  1  a 1 b 1  c 1  d 81Bài 16. Mang đến a, b , c  R với a + b + c = 0. CMR: 8 a  8 b  8 c  2 a  2b  2 c . 15 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 2Bài 17. Chứng minh rằng ( x  2)2   3 ( x  0) x2 4Bài 18. Mang đến a > 0, b > 0 cùng a + b = 1. Chứng tỏ rằng ab2  . 27 2x 9Bài 19. Chứng tỏ rằng ví như x > - 3 thì  1 3  x  32 4Bài 20. Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì a  3 (a  b)(b  1)2 2 3Bài 21. Tìm giá bán trị bé dại nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn:  1 x y om x2 y2 z2 3Bài 22. Với xyz = 1, x, y, z > 0. CMR:    z y x z x y 2 .c a3 b3Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của p. =  cùng với a, b là những số dương thoả nguyện điều 1 b 1 akiện ab = 1. H AT 2 3Bài 24. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của p   với x, y là những số dương thỏa mãn x+y=1. X y MBài 25. Cho x, y, z > 0. Minh chứng rằng N ( y  z) (x  z) ( y  x) 4 9  16  26 .V x y z 1 1 wBài 26. Mang lại x + y = 1, x, y > 0. Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của biểu thức: A  22  x y xy w 1Bài 27. đến x, y  0 , x+ y= 1. CMR:  x2  y 2  1 w 2 1 1Bài 28. đến a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá trị bé dại nhất p.   a bBài 29. đến x,y,z dương bằng lòng xyz=1. Tìm giá trị nhỏ dại nhất của một 1 1 a) P=x+y+z b) P= x  y  z c)   x y z 2 a 2 b 2 c 1 1 1Bài 30. Mang lại 3 số a,b,c > 0. CMR: 3 2 + 3 2 + 3 2  2 + 2+ 2 a +b b +c c +a a b c 16 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp 81Bài 31. đến x ,y ,z  <0;1>. CMR: (2 x + 2y + 2z)(2 – x + 2 – y + 2– z)  8 ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4Bài 32. đến a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 . Kiếm tìm GTLN của A = abcBài 33. Mang đến a,b,c dương . Chứng tỏ rằng: 1 1 4 16 64     a b c d a bcdBài 34. Mang lại a,b,c dương toại nguyện a  b  c  1 . Chứng minh rằng: 3 a  b  3 b  c  3 a  c  3 18 omBài 35. Mang đến a,b,c dương tán thành ab  bc  ca  5 . Chứng minh rằng: 3a 2  3b2  c2  10 .cBài 36. Mang lại a,b,c dương chấp nhận abc=1. Chứng minh rằng: a) a 3  b3  c3  a  b  c H AT b) a 3  b3  c3  a 2  b 2  c 2Bài 37. Cho a,b,c dương đống ý abc=1. Chứng tỏ rằng: M  1  1  1  N  a   1 .  b   1 .  c   1  1  b  c  a  .VBài 38. Trả sử a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Minh chứng rằng: w a b c   3 w a bc bca ca b wBài 39. Mang đến a,b,c dương hợp ý a  b  c  1 . Chứng minh rằng: (1  a)(1  b)(1  c)  8(1  a)(1  b)(1  c)Bài 40. Mang lại a,b,c dương bằng lòng a  b  c  abc . Minh chứng rằng: a b c 3  3  3 1 b c a 17 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp Để các bạn có thêm chuyên môn khi áp dụng BĐT Côsi tôi xin trình làng một chút vềphương pháp chọn điểm rơi côsi. Đây nói theo một cách khác là một “tuyệt chiêu” độc đáo giúp các emnhanh chóng tìm ra giải mã bài toán.III. PHƯƠNG PHÁP THÊM HẠNG TỬ VÀ CHỌN ĐIỂM RƠI CÔSI từ những việc dự đoán được dấu bằng xẩy ra (điểm rơi Côsi), thêm bớt những số hạng mang đến phùhợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta hoàn toàn có thể đạt được những hiệu quả không ngờ.Để dành được một lý thuyết đúng đắn bọn họ thực hiện quá trình phân tích vấn đề nhưsau: 1. Dự đoán dấu bằng xảy ra hay các điểm nhưng tại đó dành được GTLN, GTNN. 2. Từ dự đoán dấu bằng, kết hợp với các BĐT quen biết, dự kiến cách reviews (tất om nhiên là thêm một chút nhạy cảm và tài năng toán học tập của mỗi người) cho từng bài toán. Chú ý rằng từng phép review phải bảo đảm an toàn nguyên tắc “dấu bằng xẩy ra .c ở từng bước này phải giống hệt như dấu bằng mà ta đã dự kiến ban đầu”. H Để làm rõ điều này tôi xin phân tích cách xem xét tìm ra lời giải trong số ví dụ sau: ATVí dụ 1. Chứng minh rằng với a, b,c  0 ta có: a 2 b2 c2   abc M b c a Phân tích bài toán: N * thứ 1 ta nhận ra nếu vận dụng ngay bất đẳng thức Cô si cho 3 số thì ko ra .Vđược kết quả mong muốn. * Dễ nhận biết dấu bởi xẩy ra khi a = b = c. W a2 a2 w lúc ấy  b . Bởi vậy ta thêm b vào thành phần đại diện nhằm có chứng minh sau: b b wLời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta có: a2 b2 c2  b  2a;  c  2b;  a  2c b c a 2 2 2 a b c a 2 b2 c 2   b   c   a  2a  2b  2c     a  b  c b c a b c aVí dụ 2. Chứng tỏ rằng với x,y,z > 0 ta gồm x 3 y3 z3    x 2  y2  z 2 y z x Phân tích bài xích toán: 18 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm năm ngoái Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp x3 Ta thấy rằng với hạng tử rất có thể có nhị hướng sau: y x3 phía 1: Thêm  xy  2x 2 , cùng rất BĐT cơ bạn dạng x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx y cộng các bất đẳng thức lại ta gồm điều bắt buộc chứng minh. X3 x3 2 y 3 y3 2 z 3 z3 phía 2: Thêm   y  3x ;   z  3y ;   x 2  3z 2 rồi cộng lại 2 2 y y z z x x ta bao gồm điều cần chứng minh.Ví dụ 3. Cho x, y, z là những số dương vừa lòng xyz = 1. Chứng minh rằng: x3 + y3 +z3  x + y + z omPhân tích bài bác toán: * dự kiến dấu bằng xẩy ra khi x = y = z = 1. .c * Ta mong mỏi đạt hai mục tiêu là review giảm bậc tự bậc 3 xuống bậc 1 và bảo đảm an toàn Hdấu bởi khi x=1, vậy nên phải áp dụng BĐT côsi cùng với 3 số, đó là điều dễ hiểu. Vậy thì yêu cầu ATthêm hằng số làm sao vào cùng với x 3 . Chắc các bạn đều thống nhất đó là tiên phong hàng đầu rồi.Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi mang đến 3 số dương ta được M x 3  1  1  3x ; y3  1  1  3y ; z 3  1  1  3zCộng từng vế 3 BĐT ta được : x 3  y 3  z 3  3(x  y  z)  6 N .VMặt khác x  y  z  3 3 xyz  3 cần 3(x  y  z)  6  x  y  zVậy câu hỏi được hội chứng minh. WCũng theo phía này ta có các kết quả sau: wVới x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta có: w x 3  y3  z3  x 2  y 2  z 2 x 2012  y 2012  z 2012  x 2011  y 2011  z 2011 (Các các bạn hãy chứng minh các hiệu quả này nhé)Ví dụ 4. Cho a, b, c dương vừa lòng abc=1. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3    (1  b)(1  c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b) 4Phân tích bài xích toán: 19 www.VNMATH.comChuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015 Biên soạn: Thầy Lê Xuân Đại cvp a3  Ta sẽ thêm vào cho những hạng tử gì? Để vấn đáp được thắc mắc đó các (1  b)(1  c) bạn chú ý là lốt bằng xẩy ra khi a=b=c=1. A3 1 11 1 b 1 c  cơ hội đó thì     (1  b)(1  c) 4 8 8 8 bởi vì vậy ta có cách minh chứng sau:Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi mang đến 3 số dương ta được a3 1 b 1 c a3 1 b 1 c 3    3. 3 . .  a (1  b)(1  c) 8 8 (1  b)(1  c) 8 8 4 thuộc hai BĐT tương tự như ta có: om a3 b3 c3 3 1 3     (a  b  c)  (đpcm). (1  b)(1  c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b) 4 2 2 .c Điều cần chứng minh.Ví dụ 5. Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng: H AT a3 b3 c3 1    (a  b  c) b(c  a) c(a  b) a(b  c) 2 MPhân tích bài xích toán: * dự kiến dấu bằng xẩy ra khi a=b=c. N a3 a3 a ca b .V * lúc đó     . Viết vì vậy vì chủ tâm của ta là đề nghị b(c  a) a(a  a) 2 4 2 wkhử được mẫu mã số làm việc vế trái. Như vậy rất có thể thực hiện nay lời giải dễ dàng và đơn giản như sau:Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi mang đến 3 số dương ta được w a3 ca b a3 ca b 3 w    3. 3 . .  a b(c  a) 4 2 b(c  a) 4 2 2Cùng hai BĐT tựa như ta gồm điều buộc phải chứng minh.Ví dụ 6. Cho a, b, c dương đồng tình a  b  c  3 . Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của phường  3 a  2010b  3 b  2010c  3 c  2010aPhân tích bài toán: * Dự đoán p đạt GTLN trên a  b  c  1 (tất nhiên chưa hẳn lúc nào điều dự đoáncủa ta cũng đúng) 3 * lúc đó a  2010b  3 2011 và dự kiến giá trị lớn nhất của p bằng 3 3 2011(thế này nhưng thi trắc nghiệm thì ngon quá...) 20