PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

     



Bạn đang xem: Phương pháp chứng minh bất đẳng thức

*
32 trang
*
trường đạt
*
4309
*
2Download


Xem thêm: Giải Toán 8 Bài Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn, Lý Thuyết: Bất Phương Trình Bậc Nhất Một Ẩn

Bạn đã xem đôi mươi trang chủng loại của tư liệu "19 cách thức chứng minh Bất đẳng thức", để thiết lập tài liệu nơi bắt đầu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD sinh hoạt trên


Xem thêm: Trường Đại Học Dược Hà Nội Tăng Chỉ Tiêu, Tuyển Sinh Thêm 3 Ngành Mới

PHẦN 1CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý1/Định nghĩa 2/Tính chất+ A>B + A>B với B >C + A>B A+C >B + C + A>B với C > D A+C > B + D + A>B cùng C > 0 A.C > B.C + A>B với C B > 0 A > B + A > B A > B cùng với n lẻ + > A > B cùng với n chẵn + m > n > 0 cùng A > 1 A >A + m > n > 0 với 0 0)+ ( dấu = xảy ra khi A.B B. Ta lập hiệu A –B > 0 xem xét dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" MVí dụ 1 " x, y, z chứng tỏ rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz c) x + y + z+3 2 (x + y + z)Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)=đúng với đa số x;y;z bởi (x-y)2 0 với"x ; y vệt bằng xảy ra khi x=y (x-z)2 0 với"x ; z lốt bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 0 với" z; y dấu bằng xẩy ra khi z=y Vậy x + y + z xy+ yz + zx.Dấu bằng xảy ra khi x = y =zb)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz= ( x – y + z) đúng với đa số x;y;zVậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với đa số x;y;zDấu bằng xẩy ra khi x+y=zc) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1Ví dụ 2: minh chứng rằng :a) ; b) c) Hãy tổng quát bài bác toánGiải:a) Ta xét hiệu = = = Vậy .Dấu bằng xảy ra khi a=bb)Ta xét hiệu =.VậyDấu bằng xẩy ra khi a = b =cc)Tổng quátTóm lại các bước để chứng minh AB theo định nghĩaBước 1: Ta xét hiệu H = A - BBước 2:Biến đổi H=(C+D)hoặc H=(C+D)+.+(E+F)Bước 3:Kết luận A ³ BVí dụ 1: chứng tỏ "m,n,p,q ta đều phải có : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1) Giải: (luôn đúng)Dấu bằng xẩy ra khi lấy một ví dụ 2: chứng tỏ rằng với tất cả a, b, c ta luôn luôn có :Giải: Ta tất cả : , Đúng với mọi a, b, c.Phương pháp 2 : cần sử dụng phép biến hóa tương đươngKiến thức: Ta đổi khác bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức vẫn được minh chứng là đúng.Nếu A 1 x.y.z>1 mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường thích hợp trên có nghĩa là có đúng một trong những ba số x ,y ,z là số to hơn 1Ví dụ 5: chứng minh rằng : Giải:Ta gồm : tương tự như ta bao gồm :,Cộng vế theo vế những bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : (*)Ta gồm : tựa như : , cộng vế theo vế những bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : (**)Từ (*) với (**) , ta được : (đpcm)Phương pháp 3: sử dụng bất đẳng thức phụKiến thức: a) b) dấu( = ) lúc x = y = 0 c) d)Ví dụ 1 mang đến a, b ,c là những số không âm minh chứng rằng (a+b)(b+c)(c+a)8abcGiải: cần sử dụng bất đẳng thức phụ: Tacó ; ; (a+b)(b+c)(c+a)8abc lốt “=” xảy ra khi a = b = c cách thức 4:Bất đẳng thức Cô sy kiến thức: a/ Với hai số không âm : , ta có: . Lốt “=” xảy ra khi a=bb/ Bất đẳng thức không ngừng mở rộng cho n số không âm :Dấu “=” xẩy ra khi để ý : ta sử dụng bất đẳng thức Côsi khi đề cho phát triển thành số ko âm.Ví dụ 1 : Giải phương trình :Giải : nếu đặt t =2x thì pt trở nên pt bậc 6 theo t nên ta đặt khi đó phương trình có dạng :Vế trái của phương trình:Vậy phương trình tương tự với : .Ví dụ 2 : mang lại x, y , z > 0 với x + y + z = 1. Tìm GTLN của phường =Giải : p = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì Suy ra Q = -Q nên phường = 3 – Q 3-=Vậy max phường = .khi x = y = z = .Ví dụ 3: mang lại a, b, c >0 . Minh chứng rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta bao gồm :Tương trường đoản cú :Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.Ví dụ 4 : CMR vào tam giác ABC : (*)Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :Cũng theo bất đẳng thức Côsi :Viết tiếp nhì BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xẩy ra khi a = b = c tuyệt ABC là đều .Ví dụ 5:Cho . Chứng minh rằng: Giải: Đặt gồm 2 nghiệm a,cMà:Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: cách thức 5 Bất đẳng thức BunhiacopskiKiến thức:Cho 2n số thực (): . Ta luôn có:Dấu “=” xẩy ra khi giỏi (Quy cầu : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )Chứng minh:Đặt trường hợp a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn luôn đúng.Nếu a,b > 0:Đặt: , nạm thì: phương diện khác: Suy ra: Lại có: Suy ra: Dấu”=” xảy ra Ví dụ 1 :Chứng minh rằng: , ta có: Giải: Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một đợt nữa:Ví dụ 2: đến tam giác ABC có những góc A,B,C nhọn. Kiếm tìm GTLN của:Giải:* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộngCho m bộ số, mỗi bộ số bao gồm n số ko âm: núm thì: Dấu”=” xẩy ra bô số (a,b,.,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,,m thì sao cho: , xuất xắc Ví dụ 1: Cho chứng tỏ rằng: Giải: ta có: cho nên theo bất đẳng thức Bunhiacopski:(đpcm)Ví dụ 2: cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: Giải: dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bdmà ví dụ 3: chứng minh rằng : Giải: cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski phương pháp 1: Xét cặp số (1,1,1) cùng (a,b,c) ta có 3 Điều phải chứng tỏ Dấu bằng xảy ra khi a=b=cPhương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sépKiến thức:a)Nếu thì .Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khib)Nếu thìDấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khiVí dụ 1: mang đến ABC bao gồm 3 góc nhọn nội tiếp mặt đường tròn bán kính R = 1 và S là diện tích s tan giác. Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.Giải: Không giảm tính tổng thể ta giả sư Suy ra:Áp dụng BĐT trebusep ta được:Dấu ‘=’ xảy raMặt khác:Thay (2) vào (1) ta cóDấu ‘=’ xẩy ra ABC đều. Lấy ví dụ như 2(HS trường đoản cú giải): a/Cho a,b,c>0 với a+b+c=1 CMR: b/Cho x,y,z>0 với x+y+z=1 CMR:x+2y+z c/Cho a>0 , b>0, c>0 CMR: d)Cho x,y vừa lòng ;CMR: x+y lấy một ví dụ 3: mang đến a>b>c>0 với . Chứng tỏ rằngGiải: vị a,b,c đối xứng ,giả sử abc Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có ==Vậy vệt bằng xảy ra khi a=b=c=Ví dụ 4: đến a,b,c,d>0 với abcd =1 .Chứng minh rằng :Giải: Ta bao gồm Do abcd =1 buộc phải cd = (dùng )Ta có (1) khía cạnh khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) =VậyPhương pháp7 Bất đẳng thức BernouliKiến thức:a)Dạng nguyên thủy: cho a-1, Z thì . Dấu ‘=’ xẩy ra khi và chỉ khi b) Dạng mở rộng: - mang đến a > -1, thì . Vệt bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = 0.- mang lại thì . Lốt bằng xảy ra khi va chỉ khi.Ví dụ 1 : chứng minh rằng .GiảiNếu tuyệt thì BĐT luôn đúngNếu 0 0.Chứng minh rằng . (1)GiảiÁp dụng BĐT Bernouli: (2)Chứng minh tựa như ta đuợc: (3) (4)Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có(đpcm)Chú ý: ta có vấn đề tổng quát mắng sau đây:“Cho chứng tỏ rằng .Dấu ‘=’ .(chứng minh tương tự bài trên).Ví dụ 3: mang lại . Chứng tỏ rằng .GiảiĐặt .Chứng minh tương tự:Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta đượcChú ý: bài toán tổng quát mắng dạng này“ cho n số Ta luôn có:Ph ương pháp 8: Sử dụng đặc điểm bắc cầuKiến thức: A>B và B>C thì A>CVí dụ 1: mang lại a, b, c ,d >0 thỏa mãn nhu cầu a> c+d , b>c+d chứng minh rằng ab >ad+bc Giải:Tacó (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc (điều nên chứng minh)Ví dụ 2: cho a,b,c>0 thỏa mãn . Chứng minh Giải: Ta có :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 0 ac+bc-ab ( a2+b2+c2) ac+bc-ab 1 phân tách hai vế mang đến abc > 0 ta tất cả Ví dụ 3: mang đến 0 1-a-b-c-dGiải: Ta gồm (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab vì a>0 , b>0 nên ab>0 (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) vì c 0 ta có (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều nên chứng minh)Ví dụ 4: đến 0 0 1+ > + bmà 0 , > từ (1) cùng (2) 1+> +. Vậy + 0 thì từ ` ví dụ như 1: đến a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng Giải: Theo tính chất của tỉ trọng thức ta gồm (1) ngoài ra : (2) tự (1) cùng (2) ta bao gồm 1 minh chứng rằng Giải: Ta có với k = 1,2,3,,n-1 vị đó: ví dụ như 2: chứng tỏ rằng: cùng với n là số ng ... 1 . Ta cần chứng minh: Ta có: (Vì )Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy theo nguyên tắc quy nạp: lấy ví dụ 5: mang lại , . Minh chứng rằng: Giải n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1)Thật vậy: + Vậy (1) được hội chứng minhVí dụ 6: mang đến , . Chứng tỏ rằng: Giải:n=1: Bất đẳng thức luôn luôn đúngn=k ():giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta bắt buộc chứng minh: (1)Đặt: Vậy (1) đựơc hội chứng minhVí dụ 7: chứng tỏ rằng: Giải: n=2 n=k: mang sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1:Ta c ó: (vì ) Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1Vậy lấy một ví dụ 8: minh chứng rằng: Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúngn=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: n= k+1 . Ta cần chứng minh: Ta có: Nên: Bất đẳng thức đúng cùng với n= k+1. Vậy: +Ph ương pháp 16: chứng minh phản tận mắt chứng kiến thức: 1) mang sử phải chứng tỏ bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy trả sử bất đẳng thức đó sai cùng kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với trả thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) giả sử ta phải minh chứng luận đề “p q”Muốn minh chứng (với : mang thiết đúng, : tóm lại đúng) phép chứng minh được thực hiên như sau:Giả sử không tồn tại ( hoặc sai) suy ra điều vô lý hoặc sai. Vậy phải có (hay đúng)Như vậy để tủ định luận đề ta ghép toàn bộ giả thiết của luận đề với tủ định kết luận của nó . Ta thường được sử dụng 5 vẻ ngoài chứng minh phản bệnh sau : A - cần sử dụng mệnh đề phản hòn đảo : “P Q” B – lấp định rôi suy trái trả thiết C – bao phủ định rồi suy trái cùng với điều đúng D – đậy định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau E – đậy định rồi suy ra tóm lại :Ví dụ 1: Cho bố số a,b,c vừa lòng a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0 Giải: mang sử a 0 thì từ abc > 0 a 0 vì vậy a 0 và a 0 a(b+c) > -bc > 0 vì chưng a 0 b + c 0 tương tự ta tất cả b > 0 , c > 0Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn nhu cầu điều kiện ac 2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong những bất đẳng thức sau là sai: , Giải: trả sử 2 bất đẳng thức : , đều đúng vào lúc đó cộng những vế ta được (1) Theo đưa thiết ta gồm 4(b+d) 2ac (2) từ bỏ (1) và (2) hay (vô lý) Vậy trong 2 bất đẳng thức cùng có ít nhất một những bất đẳng thức saiVí dụ 3:Cho x,y,z > 0 với xyz = 1. Minh chứng rằng ví như x+y+z > thì có 1 trong những ba số này to hơn 1 Giải :Ta bao gồm (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 =x + y + z – () vày xyz = theo giả thiết x+y +z > đề xuất (x-1).(y-1).(z-1) > 0 Trong cha số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một vài dương thiệt vậy giả dụ cả cha số dương thì x,y,z > 1 xyz > 1 (trái đưa thiết) Còn ví như 2 vào 3 số kia dương thì (x-1).(y-1).(z-1) ab+bc+acGiải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = b2+c2- ab- bc – ac= ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) +3bc =(-b- c)2 +=(-b- c)2 +>0 (vì abc=1 với a3 > 36 phải a >0 )Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều đề xuất chứng minh2) chứng tỏ rằng a) b) với tất cả số thực a , b, c ta tất cả c) Giải: a) Xét hiệu: = = HH0 ta tất cả điều phải chứng minh b) Vế trái hoàn toàn có thể viết H = H > 0 ta gồm đpcm c) vế trái rất có thể viết H = H 0 ta bao gồm điều buộc phải chứng minh* Dùng chuyển đổi tương đương 1) mang lại x > y và xy =1 .Chứng minh rằng Giải: Ta tất cả (vì xy = 1) cho nên vì vậy BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT cuối đúng yêu cầu ta bao gồm điều phải chứng minh2) đến xy 1 .Chứng minh rằng Giải: Ta có BĐT cuối này đúng vị xy > 1 .Vậy ta gồm đpcm* sử dụng bất đẳng thức phụ1) mang lại a , b, c là những số thực với a + b +c =1 minh chứng rằng Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) cùng (a,b,c) Ta tất cả (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) mang đến a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng (1)Giải: (1) vận dụng BĐT phụ cùng với x,y > 0. Ta gồm BĐT sau cùng luôn đúng Vậy (đpcm)* Dùng cách thức bắc ước 1) mang đến 0 0 .Cminh rằng: Giải: vị a ,b ,c ,d > 0 nên ta gồm (1) (2) (3) Cộng những vế của 4 bất đẳng thức bên trên ta tất cả : (đpcm) 2) đến a ,b,c là số đo tía cạnh tam giác chứng tỏ rằng : Giải: vày a ,b ,c là số đo tía cạnh của tam giác cần ta tất cả a,b,c > 0 với a 0 cùng x+y+z =1 Giải: vị x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta gồm x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi đến x+y ; y+z ; x+z ta gồm Dấu bằng xảy ra khi x=y=z= Vậy S . Vậy S có mức giá trị lớn nhất là khi x=y=z= ví dụ như 3: mang đến xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ dại nhất của Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z) Ta bao gồm (1) Áp dụng BĐT Bunhiacốpski đến () và (1,1,1)Ta có Từ (1) và (2) Vậy có mức giá trị bé dại nhất là khi x=y=z= ví dụ 4 : trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông làm sao có diện tích lớn tốt nhất Giải: gọi cạnh huyền của tam giác là 2a Đường cao nằm trong cạnh huyền là h Hình chiếu những cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y Ta gồm S = vị a không đổi mà x+y = 2a. Vậy S lớn nhất lúc x.y lớn nhất Vậy trong những tam giác tất cả cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân nặng có diện tích s lớn nhất 2/ cần sử dụng Bất đẳng thức nhằm giải phương trình với hệ phương trình lấy một ví dụ 1:Giải phương trình: Giải : Ta bao gồm Vậy vết ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1 Vậy lúc x = -1 Vậy phương trình có nghiệm nhất x = -1 lấy một ví dụ 2: Giải phương trình Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta bao gồm : lốt (=) xảy ra khi x = một mặt khác dấu (=) xẩy ra khi y = - Vậy lúc x =1 cùng y =- Vậy nghiệm của phương trình là lấy ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau: Giải: vận dụng BĐT Côsi ta tất cả Vì x+y+z = 1) nên Dấu (=) xẩy ra khi x = y = z = Vậy có nghiệm x = y = z = ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau tự phương trình (1) tốt Từ phương trình (2) ví như x = thì y = 2 giả dụ x = - thì y = -2 Vậy hệ phương trình bao gồm nghiệm và 3/ sử dụng BĐT nhằm giải phương trình nghiệm nguyên ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z toại nguyện Giải:Vì x,y,z là những số nguyên yêu cầu (*) Mà những số x,y,z cần tìm là lấy một ví dụ 2: search nghiệm nguyên dương của phương trình Giải: không mất tính tổng quát ta trả sử Ta gồm Mà z nguyên dương vậy z = 1. Núm z = 1 vào phương trình ta được Theo trả sử xy đề nghị 1 = nhưng mà y nguyên dương yêu cầu y = 1 hoặc y = 2 với y = 1 không thích hợp với y = 2 ta bao gồm x = 2 Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình Hoán vị những số bên trên ta được những nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên vừa lòng phương trình (*) Giải: (*) cùng với x 0 , y > 0 Ta có Đặt (k nguyên dương vì chưng x nguyên dương ) Ta gồm Nhưng mà lại giữa k và k+1 là nhì số nguyên dương liên tục không tồn tại một vài nguyên dương làm sao cả Nên không có cặp số nguyên dương nào mãn nguyện phương trình . Vậy phương trình gồm nghiệm độc nhất là : bài bác tập đề nghị :Bài 1:Chứng minh rằng với tất cả a,b,c > 0 : HD : chuyển vế quy đồng mẫu đưa về tổng bình phương những đẳng thức.Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : HD: bài 3: mang lại a, b. C > 0 cùng a + b + c 1. Cmr : HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho bài bác 4 : mang lại . Cmr :HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang lại , rồi cộng hai vế theo vế.Bài 5: cho a, b >1. Search GTNN của S = HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi mang lại và xét trường hợp vết “=” xảy ra .Bài 9 : search GTLN cùng GTNN của y = HD: Đặt x= bài xích 10: cho 36xCmr : HD: Đặt : bài 11: Cmr : HD : Đặt x = bài xích 12: cho . Chứng minh rằng: bài 13: cho ABC tất cả a, b, c là độ dài những cạnh. Chứng minh rằng: bài 14: cho . Chứng minh rằng bài 15: . Chứng tỏ rằng: bài 16: tất cả tồn lý do cho: ?Bài 17: mang đến ABC có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên các cạnh BC, CA, AB đem lần lược các điểm A’, B’, C’. Chứng minh rằng: Trong toàn bộ các tam giác AB’C’, A’BC’, A’B’C có tối thiểu 1 diện tích nhỏ dại hơn hay bởi 1(đơn vị diện tích)